Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

117
Проведенное рассмотрение не учитывает потерь в системе, что легко
сделать. Если потери малы, то оба эффекта — параметрическую неустой-
чивость и влияние затухания — можно рассматривать независимо друг
от друга. За счет затухания потери энергии за период равны ∆W ≈ −
−2γT
0
W , где γ — коэффициент затухания. С учетом (7.8), общее изме-
нение энергии есть
∆W = W
2∆C
C
− 2γT
0
,
откуда получаем, что если ∆C/C > γ
0
T
0
= d = π/Q (d — логарифми-
ческий декремент, Q — добротность осциллятора), то в целом колебания
нарастают. Таким образом при конечных потерях в системе параметриче-
ская неустойчивость возникает только при достаточно большой глубине
модуляции параметра.
Отметим, что для развития неустойчивости требуется, чтобы изна-
чально колебания в системе уже существовали. Если осциллятор покоит-
ся, то изменение его параметров не приводит к появлению колебаний.
Проще и удобнее сделать так, чтобы параметры системы менялись
непрерывным образом, а не скачками. Пусть, например, емкость в кон-
туре меняется по закону C(t) = C
0
+ ∆C cos(2ω
0
t), где ω
0
= 1/
√
LC
0
,
∆C C
0
(предполагается, ч то реализован наиболее благоприятный слу-
чай основного резонанса). Так как значение емкости мало отклоняется
от своего среднего, то можно считать, что в течение одного периода ам-
плитуда колебаний почти не меняется и напряжение на емкости равно
V
c
(t) =
¯
V
c
cos(ω
0
t + ϕ), ϕ — сдвиг фазы. При изменении емкости кон-
денсатора на малую величину ∆C совершается работа ∆A = −W
c
∆C/C,
W
c
= CV
2
c
/2 — энергия, запасенная в конденсаторе. Поэтому за один
период колебаний совершается работа
A = −
1
2
t+2π/ω
0
Z
t
V
2
c
(t
0
)
˙
C(t
0
) dt
0
.
Подставляя выражения для C(t) и V
c
(t), получаем
A = ∆Cω
0
¯
V
2
t+2π/ω
0
Z
t
sin 2ω
0
t
0
cos
2
(ω
0
t
0
+ ϕ) dt
0
= −
π∆C
C
0
W sin 2ϕ .
Вся эта работа идет на приращение энергии системы. Максимальным
прирост энергии будет, если ϕ = −π/4 или ϕ = 3π/4, при этом ∆W/W =
= π∆C/C. Если в системе есть потери, то, как и в предыдущем случае,

Страницы