Составители:
Рубрика:
119
где ω
2
(t) — периодическая функция с периодом T . Для произвольной
функции ω
2
(t) это уравнение называет ся уравнением Хилла [1]. Суще-
ствует общая теория линейных дифф еренциальных уравнений с периоди-
ческими коэффициентами, результаты которой, применительно к уравне-
нию второго порядка (7.12), будут даны здесь без строгих доказательств.
Их можно найти, например, в [1–3].
У уравнения (7.12) существует два линейно независимых решения
x
1
(t) и x
2
(t), так что любое решение представимо в виде их линейной
комбинации. С другой стороны, делая в (7.12) замену t → t + T , мы
вновь получаем то же самое уравнение, следовательно функции x
1
(t + T )
и x
2
(t + T ) также должны являться решениям и исходного уравнения.
Поэтому, используя матричные обозначения, можно записать
x
1
(t + T )
x
2
(t + T )
=
a
11
a
12
a
21
a
22
x
1
(t)
x
2
(t)
=
A
x
1
(t)
x
2
(t)
, (7.13)
где коэффициенты a
i,j
— постоянные, причем в каждой строке матрицы
A
хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Мат рица
A
назы-
вает ся матрицей отображения за период, и она играет главную роль
при анализе параметрических систем.
Детерминант мат рицы
A
равен единице, что можно показать следу-
ющим о бразом. Запишем уравнение (7.12) для решений x
1,2
(t):
¨x
1
(t) + ω
2
(t)x
1
(t) = 0 , ¨x
2
(t) + ω
2
(t)x
2
(t) = 0 .
Умножим первое из этих уравнений на x
2
(t), а второе — на x
1
(t),и вычт ем
одно из другого. В результате получим ¨x
1
x
2
−x
1
¨x
2
= d( ˙x
1
x
2
−x
1
˙x
2
)/dt =
= 0, т. е. ˙x
1
x
2
− x
1
˙x
2
= const. Приравнивая эти комбинации в моменты
времени t и t + T , и, используя (7.13), непосредственно получаем
a
11
a
22
− a
12
a
21
= det
A
= 1 . (7.14)
Собственные числа матрицы отображения за период называются мульти-
пликаторами, они определяются из уравнения
det [A − µI] =
a
11
− µ a
12
a
21
a
22
− µ
= 0 , (7.15)
или, с учетом (7.14),
µ
2
− (a
11
+ a
22
)µ + 1 = 0 . (7.16)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- …
- следующая ›
- последняя »
