Составители:
Рубрика:
120
Корни квадратного уравнения (7.16) равны
µ
1,2
=
1
2
Sp
A
±
q
Sp
A
2
− 4
, (7.17)
где Sp
A
= a
11
+ a
22
- след матрицы, то есть сумма ее диагональ-
ных элементов. Так как мы полагаем функцию ω
2
(t) действительной, то
коэффициенты матрицы
A
также будут действительными числами. В
зависимости от величины Sp
A
возможны три случая:
1) |Sp
A
| < 2, при этом мультипликаторы являются комплексно со-
пряженными величинами, причем µ
1
µ
2
= 1, то есть оба мультипли-
катора лежат на единичной окружности в комплексной плоскости
µ. Матрица
A
при этом может быть с помощью прео бразования
подобия
B
=
P
−1
A
P
(
P
— квадратная невырожденная
матрица) приведена к диагональному виду, так что на главной диа-
гонали матрицы
B
лежат собственные значения. Отсюда легко
показать (см. [3]), что два линейно независимых решения уравне-
ния (7.12) вида
u
1
(t)
u
2
(t)
=
P
−1
x
1
(t)
x
2
(t)
(7.18)
обладают следующим свойством: u
1,2
(t + T ) = µ
1,2
u
1,2
(t). Общее
решение этого функционального уравнения есть
u
1,2
(t) = e
λ
1,2
t
Φ(t) , λ
1,2
=
1
T
ln µ
1,2
, (7.19)
где Φ
1,2
(t) — периодические с периодом T функции.
На больших временах эти решения остаются ограниченными. Дей-
ствительно , для произвольного t имеем |u
1
(t + nT )| = |µ
n
1
u
1
(t)| =
= |µ
n
1
||u
1
(t)| = |u
1
(t)|. То же самое справедливо и для u
2
(t). Так как
произвольное решение представляется в виде линейной суперпози-
ции решений u
1,2
(t), то отсюда вытекает ограниченность решения.
Неустойчивости в системе нет.
2) Если |Sp
A
| > 2, то из соотношения (7.17) получаются два дей-
ствительных мультипликатора , один из которых по модулю о бяза-
тельно больше, а другой — меньше единицы. В этом случае опять
можно так выбрать два линейно независимых решения, что для них
будут выполняться формулы (7.19). Однако теперь ограниченности
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- …
- следующая ›
- последняя »
