Составители:
Рубрика:
121
решения нет. Если, например, |µ
1
| > 1, то имеем |u
1
(t + nT )| =
= |µ
1
|
n
u
1
(t). Видно, что функция u
1
(t) по модулю неограниченно
возрастает. Аналогично показывается, что функция u
2
(t) при боль-
ших t стремится к нулю. Поэтому при произвольных ненулевых на-
чальных условиях система будет уходить от положения равновесия,
что соответствует параметрической неустойчивости.
3) Если Sp
A
= ±2, то мультипликаторы равны между собой и по
модулю равны единице. Несколько более сложное рассмотрение по-
казывает (подробности см. в [2,3]), что в этом случае линейно неза-
висимые решения можно выбрать или в виде чисто периодическ их
функций u
1,2
(t), период которых равен T , если µ
1,2
= 1, или 2T ,
если µ
1,2
= −1, либо периодической функцией будет только одно
из решений, а второе представимо в форме u
2
(t) = tΦ(t), где Φ(t)
— снова периодическая функция. Во всяком случае, одно из ре-
шений является периодическим. Здесь мы имеем дело с граничной
ситуацией между устойчивым и неустойчивым поведением системы.
Эти свойства решений уравнений Хилла служат основой для их числен-
ного или приближенного аналитического определения.
Линейно независимые решения вида (7.19) называются решениями
Флоке, а сама эта формула служит математическим выражением одного
из утверждений так называемой теоремы Флоке: если собственные чис-
ла матрицы отображения за период системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с периодическими коэффициентами различны, то можно
выбрать ее линейно независимые решения так, что будет выполняться
соотношение (7.19).
Обратимся еще раз к свойствам решений Флоке. Когда неустойчиво-
сти нет, то комплексно сопряженные мультипликаторы лежат на единич-
ной окружности в комплексной плоскости µ, поэтому их можно предста-
вить в виде µ
1,2
= exp[±iϑ], следовательно λ
1,2
= ±iϑ/T . Подставляя это
соотношение в (7.19) и разлагая периодические функции Φ
1,2
(t) в ряды
Фурье, получаем, что движение системы представляется в виде суперпо-
зиции гармоник с ч астотами ω
n
= (2πn ± ϑ)/T . Так как в общем случае
величина ϑ несоизмерима с 2π, то движение носит квазипериодический
характер.
Если параметры системы таковы, что ре ализуется неустойчивость, то
λ
1
= −λ
2
. Если к тому же считать, чт о неустойчивость слабая, в том смы-
сле, что мультипликаторы близки по модулю к единице, то |λ
1,2
|T 1.
Тогда одно из решений Флоке представляет собой сумму периодических
гармоник с основной частотой 2π/T , амплитуды которых медленно растут
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »
