Составители:
Рубрика:
123
координат на плоскости параметров, однако это соответствует пределу
T 2π/ω
0
, и по нашему соглашению не от носится к случаю параметри-
ческого резонанса.
§ 4. Осциллятор с параметрической
неустойчивостью (модельная система)
Исследуем модельную систему, для которой возможно получить вид
зон параметрической неустойчивости явным образом. Рассмотрим урав-
нение
¨x + ω
2
0
"
1 +
ε
ω
0
∞
X
n=−∞
δ(t − nT )
#
x(t) = 0 , (7.22)
которое описывает осциллятор с частотой, испытывающей δ-образные
толчки. Амплитуда толчков пропорциональна безразмерному параметру
ε и они следуют с периодом T . Матрицу отображения за период такой
системы можно найти явным образом. Пусть x
n
и y
n
= ˙x/ω
0
— коорди-
ната и нормированная скорость осцилля тора сразу после n-го толчка. В
промежутках между толчками движение происходит по закону гармони-
ческого осциллятора с ч астотой ω
0
, поэтому перед (n + 1)-м т олчком для
этих величин можно записать
x
0
n+1
y
0
n+1
=
cos ω
0
T sin ω
0
T
−sin ω
0
T cos ω
0
T
x
n
y
n
. (7.23)
В результате толчка координата осциллятора не изменяется, а изменение
скорости можно найти, проинтегрировав уравнение (7.22) по бесконечно
малому интервалу времени, содержащему момент (n + 1)-го импульса.
Уравнения, связывающие динамические переменные до и после толчка,
имеют вид x
n+1
= x
0
n+1
, y
n+1
= y
0
n+1
− εx
0
n+1
, или в матричной форме
x
n+1
y
n+1
=
1 0
−ε 1
x
0
n+1
y
0
n+1
. (7.24)
Матрица отображения за период изменения параметра дается произведе-
нием матриц в (7.23) и (7.24):
x
n+1
y
n+1
=
cos ω
0
T sin ω
0
T
−sin ω
0
T − ε cos ω
0
T cos ω
0
T − ε sin ω
0
T
x
n
y
n
=
A
x
n
y
n
.
(7.25)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- …
- следующая ›
- последняя »
