Составители:
Рубрика:
125
если ω
0
T 6= πn, для достаточно больших ε выполняется |Sp
A
| > 2.
В этом пределе зоны неустойчивости преобладают, что соответствует за-
штрихованным областям на рис. 7.3.
В рассмотренном примере форма зон неустойчивости не зависит от но-
мера параметрического резонанса, что объясняется очень резкой, в форме
δ-импульсов, зависимостью параметра от времени. Дл я более реалистич-
ных ситуаций ширина зоны быстро убывает с ее номером.
Задача 7.2. Емкость колебательного контура скачком меняется со значе-
ния C
1
на значение C
2
и обратно через каждый интервал времени T/2.
Получите матрицу отображения за период T и найдите две первые зоны
параметрической неустойчивости на плоскости параметров (ω
0
T, ∆C/C),
считая, что ∆C/C 1, где ∆C = C
2
−C
1
, C = (C
1
+ C
2
)/2, ω
0
= 1/
√
LC.
§ 5. Уравнение Матье
Наиболее важен случай, когда параметры системы меняются по гар-
моническому закону. При этом уравнение (7.12) можно записать в виде
¨x(t) + ω
2
0
(1 + ε cos ωt) x(t) = 0 . (7.26)
Это уравнение называется уравнением Матье. Его точные решения выра-
жаются через специальные функции, называемые функциям и Матье [4],
непосредственный анализ которых затруднителен. Поэтому в этих целях
используют различные приближенные аналитические методы
3
. В их осно-
ве лежит предположение, что параметр ε мал (ε 1). Если вспомнить
условие параметрического резонанса (7.21), то в задаче появляется еще
один малый параметр δ = (ω
0
− nω/2), |δ| ω
0
. Последовательный учет
малости величин ε и δ/ω
0
позволяет получить приближенное решение
уравнения Матье.
Покажем, как сделать это для случая основного резонанса (n = 1).
Решение будем искать в виде:
x(t) = a(t) cos
ωt
2
+ b(t) sin
ωt
2
. (7.27)
Смысл этого представления таков. Если ε = 0 и δ = 0, то выраже-
ние (7.27) дает точное решение, причем a и b — постоянные. Если же эти
3
Прекрасным введением в эти методы может служить книга [3].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- …
- следующая ›
- последняя »
