Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

127
сти к виду
ω
2
˙a(t) = [ω
2
0
−
ω
2
2
][a(t) sin ωt − b(t) cos ωt + b(t)] +
+
εω
2
0
2
[a(t) sin 2ωt − b(t) cos 2ωt + 2b(t) cos ωt − b(t)] ,
ω
2
˙
b(t) = −[ω
2
0
−
ω
2
2
][a(t) cos ωt + b(t) sin ωt + a(t)] −
−
εω
2
0
2
[a(t) cos 2ωt + b(t) sin 2ωt + 2a(t) cos ωt + a(t)] .
(7.30)
При выводе выражений (7.30) не было сделано никаких приближений,
поэтому они эквивалентны одному уравнению (7.26), которое, вдобавок,
выглядит существенно проще. Однако они хорошо приспособлены для
аналитического решения с использованием теории возмущений. Так как
можно записать ω
2
0
−(ω/2)
2
= (ω
0
−ω/2)(ω
0
+ω/2) = δ(ω+δ) ≈ δω, то пра-
вые части формул (7.30) пропорциональны малым множителям ε и δ/ω
0
.
Следовательно производные ˙a(t) и
˙
b(t) малы, что можно использовать
для построения приближенного решения. Существует значительное ч ис-
ло различных приближенных методов [3], но если ограничиться только
первым приближением по малому параметру, то проще всего использо-
вать так называемый метод Ван-дер-Поля, или метод усреднения.
Метод усреднения применительно к уравнениям (7.30) основан на сле-
дующих соображениях. Так как в их правых частях содержатся как мед-
ленно меняющиеся слагаемые, пропорциональные только амплитудам a(t)
и b(t), так и быстро осциллирующие функции вида a(t) sin ωt, a(t) cos ωt и
т.д., то функции a(t) и b(t) можно представить как сумму плавно меняю-
щихся со временем “главных” частей и быстро осциллирующих добавок,
имеющих малую амплитуду. Усредним уравнения (7.30) по отрезку вре-
мени T = 2π/ω. В правой части при усреднении выражений подобных
a(t) sin ωt, можно считать a(t) и b(t) постоянными, так как за такое вре-
мя они практически не изменяются, в результате все такие слагаемые
дадут при усреднении нуль. Ненулевой вклад останется от величин a(t)
и b(t), они дадут как раз плавно меняющиеся средние значения ¯a(t) и
¯
b(t).
Слева по тем же соображениям можно записать
˙a(t) =
˙
¯a(t) и
˙
b(t) =
˙
¯
b(t).
В результате такой процедуры уравнения (7.30) переходят в уравнения
ω
˙
¯a(t) =
h
ω
2
0
−
ω
2
i
2
−
εω
2
0
2
¯
b(t) ,
ω
˙
¯
b(t) = −
h
ω
2
0
−
ω
2
i
2
+
εω
2
0
2
¯a(t) .
(7.31)

Страницы