Составители:
Рубрика:
128
Поскольку рассматривается только первое приближение, то можно поло-
жить ω
2
0
− (ω/2)
2
≈ δω и ω
0
/ω ≈ 1/2, поэтому окончательные уравнения
для усредненных амплитуд таковы:
˙
¯a(t) = (δ −
εω
0
4
)
¯
b(t) ,
˙
¯
b(t) = −(δ +
εω
0
4
) ¯a(t) .
(7.32)
Уравнения (7.32) имеют постоянные коэффициенты, их решение мож-
но искать обычным образом, используя экспоненциальную подстановку
¯a(t) = a
0
exp(λt),
¯
b(t) = b
0
exp(λt). Тогда из (7.32) следует
λ a
0
−(δ − εω
0
/4) b
0
= 0 ,
(δ + εω
0
/4) a
0
+λ b
0
= 0 .
(7.33)
Ненулевые решения этой системы возможны, если
λ
1,2
= ±
r
εω
0
4
2
− δ
2
. (7.34)
В системе будет существовать неустойчивость, если корни (7.34) — дей-
ствительные, тогда одна из экспонент exp(λ
1,2
t) будет нарастающей. Это
реализуется при
−
εω
0
4
< δ <
εω
0
4
. (7.35)
Максимальный инкремент неустойчивости достигается при δ = 0, он ра-
вен
λ
max
=
εω
0
4
. (7.36)
Так как ε мало, то неустойчивость слабая, что согласуется со сделанным
предположением о медленности изменения амплитуд a(t) и b(t).
При |δ| > εω
0
/4 значения λ получаются чисто комплексные, решение
при этом остается ограниченным. Граница неустойчивости определяется
условием |δ| = εω
0
/4, которое, учитывая определение параметра δ и его
малость, можно представить в виде
ε = 8
ω
0
ω
−
1
2
. (7.37)
На плоскости параметров (ω
0
/ω, ε) основная зона неустойчивости ограни-
чена д вумя отрезками прямых, выходящими из точки 1/2 на оси абсцисс
(рис. 7.4,а).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- …
- следующая ›
- последняя »
