Составители:
Рубрика:
129
Рис. 7.4. а) Основная зона параметрической неустойчивости для
уравнения Матье в области малых ε. Пунктиром показана гра-
ница зоны при учете малого затухания. б) Зоны параметриче-
ской неустойчивости для трех первых резонансов. Границы зон
искривляются при учете высших приближений теории возмуще-
ний. Пунктиром пок азана граница основной зоны зоны в первом
порядке теории возмущений.
Как на параметрическую неустойчивость влияют потери? Уравнение
Матье с учетом потерь имеет вид
¨x(t) + 2γ ˙x(t) + ω
2
0
(1 + ε cos ωt) x(t) = 0 . (7.38)
Воспользовавшись преобразованием (7.5), слагаемое с первой производ-
ной можно исключить. Ко эффициент γ не зависит от времени, поэтому
замена переменных имеет вид x(t) = exp(−γt) y(t), в результате для y(t)
получается уравнение Матье, в котором собственная частота ω
0
сдвинута
на относительную величину порядка γ
2
/ω
2
0
. В рассматриваемом прибли-
жении этот сдвиг можно не учитывать. Когда корни (7.34) действитель-
ные, величина y(t) ∼ exp(|λ
1,2
|t), следовательно неустойчивость для x(t)
возникнет при условии γ < |λ
1,2
|, или
γ <
r
εω
0
4
2
− δ
2
. (7.39)
Граница зоны резонанса определяется уравнением
γ =
r
εω
0
4
2
− δ
2
, (7.40)
которое задает ветвь гиперболы, показанной на рис. 7.4,а пунктиром. Та-
ким образом, учет затухания приводит к тому, что зона неустойчивости
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
