Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

126
параметры малы, то можно считать, что величины a и b становятся мед-
ленно меняющимися функциями времени по сравнению с синусом и ко-
синусом. Формулу (7.27) можно переписать в виде x(t) = A(t) cos[ωt/2 +
+ ϕ(t)], т.е. в виде колебания с медленно меняющейся амплитудой и
фазой.
Введение двух функций a(t) и b(t) вместо одной действительной функ-
ции x(t) дает некоторый произвол в их определении, который можно ис-
ключить, потребовав, чтобы они удовлетворяли какому-нибудь функцио-
нальному соотношению. Положим, что выполняется условие
˙a(t) cos
ωt
2
+
˙
b(t) sin
ωt
2
= 0 . (7.28)
Вычислим, используя (7.28), первую и вторую производную от (7.27):
˙x(t) = −
ω
2
[a(t) sin
ωt
2
− b(t) cos
ωt
2
] ,
¨x(t) = −
ω
2
[˙a(t) sin
ωt
2
−
˙
b(t) cos
ωt
2
] −
ω
2
2
[a(t) cos
ωt
2
+ b(t) sin
ωt
2
] .
Подставляя эти формулы в исходное уравнение (7.26), получим:
−
ω
2
˙a(t) sin
ωt
2
+
ω
2
˙
b(t) cos
ωt
2
= −[ω
2
0
−
ω
2
2
][a(t) cos
ωt
2
+ b(t) sin
ωt
2
] −
− εω
2
0
[a(t) cos ωt cos
ωt
2
+ b(t) cos ωt sin
ωt
2
] .
(7.29)
Уравнения (7.28) и (7.29) позволяют выразить величины ˙a(t) и
˙
b(t) по
отдельности:
ω
2
˙a(t) = [ω
2
0
−
ω
2
2
][a(t) sin
ωt
2
cos
ωt
2
+ b(t) sin
2
ωt
2
] +
+ εω
2
0
[a(t) sin
ωt
2
cos
ωt
2
cos ωt + b(t) sin
2
ωt
2
cos ωt] ,
ω
2
˙
b(t) = −[ω
2
0
−
ω
2
2
][a(t) cos
2
ωt
2
+ b(t) sin
ωt
2
cos
ωt
2
] −
− εω
2
0
[a(t) cos
2
ωt
2
cos ωt + b(t) sin
ωt
2
cos
ωt
2
cos ωt] .
Используя тригонометрические формулы, эти соотношения можно приве-

Страницы