Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

134
где C
0 1,2
= C
0
+ C
1,2
, Z
1,2
=
p
L
1,2
/C
01,2
, ω
2
01,2
= 1/(L
1,2
C
01,2
). Отме-
тим, что постоянная составляющая переменной емкости C
0
присутствует
в определении полной емкости и собственных частот каждого из конту-
ров
4
. Напряжения на контурах выражаются через нормальные колебания
формулами
V
1,2
=
r
ω
01,2
2C
01,2
a
1,2
+ a
+
1,2
. (7.46)
Напомним, что нормальные колебания a
+
1,2
являются комплексно сопря-
женными величинами к нормальным колебаниям a
1,2
, поэтому все урав-
нения для a
+
1,2
получаются из уравнений для a
1,2
комплексным сопряже-
нием. Энергия в каждом контуре равна E
1,2
= ω
01,2
|a
1,2
|
2
. Для первого
осциллятора нормальное колебание a
+
1
ассоциируется с собственной ча-
стотой +ω
01
, а нормальное коле ба ние a
1
— с собственной частотой −ω
01
,
они могут быть представлены на комплексной плоскости как два векто-
ра, вращающихся с угловой скоростью ω
01
по и против часовой стрелки.
То же самое можно сказать про нормальные колебания a
+
2
и a
2
второго
осциллятора.
Умножим первое из уравнений (7.44) на величину
p
ω
01
/2C
01
, а вто-
рое — на i
p
L
1
/2ω
01
и сложим их. Аналогично поступим с третьим и
четвертым уравнениями, с заменой всех индексов 1 на 2 и наоборот. Ис-
пользуя последнее уравнение в (7.44), после простых преобразований по-
лучаем уравнения для нормальных колебаний:
da
1
dt
+ iω
01
a
1
=
r
ω
02
ω
01
C
0
2
√
C
01
C
02
˙a
2
+ ˙a
+
2
−
1
2C
01
d
dt
h
˜
C(t)
a
1
+ a
+
1
i
+
+
r
ω
02
ω
01
1
2
√
C
01
C
02
d
dt
h
˜
C(t)
a
2
+ a
+
2
i
, (7.47a)
da
2
dt
+ iω
02
a
2
=
r
ω
01
ω
02
C
0
2
√
C
01
C
02
˙a
1
+ ˙a
+
1
−
1
2C
02
d
dt
h
˜
C(t)
a
2
+ a
+
2
i
+
+
r
ω
01
ω
02
1
2
√
C
01
C
02
d
dt
h
˜
C(t)
a
1
+ a
+
1
i
. (7.47b)
Уравнения (7.47) имеют вид системы связанных осцилляторов: в правой
части первого уравнения для нормального колебания a
1
присутствуют
слагаемые, зависящие от нормальных колебаний a
+
1
, a
2
и a
+
2
; аналогично
4
Это соответствует концепции парциальных систем и парциальных частот, вводимой
для систем связанных осцилляторов, которая будет подробно рассматриваться в следую-
щей главе.

Страницы