Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

135
в уравнении для нормального колебания a
2
присутствуют нормальные
колеба ния a
1
, a
+
1
и a
+
2
.
Предположим, что связь между контурами отсутствует, т.е. C(t) =
= 0. Тогда из (7.47) получаются уравнения для несвязанных нормальных
колеба ний, решения которых е сть a
1
(t) = a
1
(0) exp(−iω
01
t) и a
2
(t) =
= a
2
(0) exp (−iω
02
t). При учете связи уравнения (7.47) можно приближен-
но трактовать как уравнения осцилляторов по действием вынуждающих
сил, зависящих, в свою очередь, от нормальных колебаний. Для каче-
ственного анализа в первом приближении в правые части (7.47) можно
подставить выражения для нормальных амплитуд, найденные при отсут-
ствии связи. Если это сделать, то выясняется, что различные слагаемые
справа оказывают разное по величине воздействие на колебания в кон-
турах. Рассмотрим, например, слагаемое в первом уравнении, пропорци-
ональное ˙a
2
. Его временная зависимость определяется формулой
d
dt
a
2
(0)e
−ω
02
t
= −iω
02
a
2
(0)e
−ω
02
t
,
что соответствует колебанию с частотой (−ω
02
). Мы будем рассматри-
вать невырожденный случай, когда частоты ω
01
и ω
02
достаточно сильно
различаются. Поэтому это слагаемое является нерезонансным и не мо-
жет оказать существенного влияния на нормальное колебание a
1
, частота
которого равна (−ω
01
). Аналогично можно сразу сказать, что слагаемое
в первом уравнении, пропорциональное ˙a
+
2
, имеет частоту ω
02
, и также
является нерезонансным.
Рассмотрим теперь слагаемое в уравнении (7.47a), пропорциональ-
ное величине d[
˜
C(t)
a
2
+ a
+
2
]/dt. Представим переменную часть емкости
˜
C(t) в виде
˜
C(t) = ∆C cos ω
3
t =
∆C
2
e
iω
3
t
+ e
−iω
3
t
,
тогда это слагаемое можно переписать следующим образом:
∆C
2

e
iω
3
t
+ e
−iω
3
t
a
2
(0)e
−iω
02
t
+ a
+
2
(0)e
iω
02
t

=
=
∆C
2
h
i (ω
3
− ω
2
) a
2
(0)e
+i(ω
3
−ω
02
)t
+ i (ω
3
+ ω
02
) a
+
2
(0)e
i(ω
3
+ω
02
)t
−
− i (ω
3
+ ω
02
) a
2
(0)e
−i(ω
3
+ω
02
)t
− i (ω
3
− ω
02
) a
2
(0)
+
e
−i(ω
3
−ω
02
)t
i
.
Учитывая условие резонанса (7.43), можно прийти к выводу, что из че-
тырех слагаемых в этой формуле, резонансным будет только последнее,

Страницы