Составители:
Рубрика:
137
где ε =
√
ω
01
ω
02
∆C/(4
√
C
01
C
02
) — коэффициент связи. Уравнения (7.50)
показывают, что гармоническое изменение во времени реактивного эле-
мента (емкости) приводит к связи между нормальными колебаниями a
1
и a
+
2
(а также a
+
1
и a
2
), частоты которых существенно отличаются друг
от друга. Характер этой связи таков, что в системе может возникнуть
неустойчивость.
Подстановка ¯a
1,2
= exp(−iδt/2)b
1,2
(t) приводит (7.50) к уравнениям с
постоянными коэффициентами:
db
1
dt
− i
δ b
1
2
= −iεb
?
2
,
db
?
2
dt
+ i
δ b
?
2
2
= +iεb
1
.
(7.51)
Для удобства здесь приведено уравнение дл я b
?
2
, а не для b
2
. Решение для
(7.51) ищем в виде b
1
(t), b
2
(t) ∼ exp(λt). Тогда из (7.51) для величины λ
получаем формулу
λ = ±
p
ε
2
−δ
2
/4 . (7.52)
Неустойчивость реализуется при −2ε < δ < 2ε, при δ = 0 максимальный
инкремент неустойчивости равен λ
max
= ε.
В о бласти неустойчивости колебания в контурах происходят с часто-
тами ω
1
= ω
01
+ δ/2 и ω
2
= ω
02
+ δ/2 и медленно нарастают по ампли-
туде с инкрементом λ, поскольку величина ε мала. Можно считать, что
колебания близки к гармоническим, причем, учитывая определение рас-
стройки δ, приходим к выводу, ч то условие резонанса (7.43) выполняется
точно.
Уравнения (7.50) имеют важный закон сохранения. Что бы его найти,
умножим первое из них на a
+
1
, а второе — на a
+
2
и вычтем друг из друга.
Тогда
d|a
1
|
2
dt
−
d|a
2
|
2
dt
= 0 , (7.53)
или |a
1
|
2
−|a
2
|
2
= const. Отсюда следует, что колебания в обоих контурах
либо одновременно нарастают, либо одновременно затухают. Полученные
соотношения имеют важное энергетическое толкование. Вспомним, что
энергия, запасенная в каждом из контуров, равна E
1,2
= ω
1,2
|a
1,2
|
2
, по-
этому соотношения (7.53) переписываются в виде
P
1
ω
1
=
P
2
ω
2
, (7.54)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- …
- следующая ›
- последняя »
