Составители:
Рубрика:
ГЛАВА 1
Линейный гармонический осциллятор
Общие замечания и определения. Консервативный осцилля-
тор. Примеры осцилляторов в физике, химии, биологии. “Эко-
номический маятник” — линейные колебания в простой мо-
дели экономики. Электрон в магнитном поле. Электроны —
осцилляторы. Изохронные и неизохронные колебания. Энер-
гетические соотношения для усредненных величин. Теорема
вириала.
§ 1. О бщие замечания и определения
Движение грузика на пружинке, маятника, заряда в электрическом
контуре, а также эволюция во времени многих систем в физике, химии,
биологии и других науках при определенных предположениях можно опи-
сать одним и тем же дифференциальным уравнением, которое в теории
колебаний выступает в качестве основной модели. Эта модель называется
линейным гармоническим осциллятором.
Уравнение свободных колебаний гармонического осциллят ора имеет
вид
¨x + 2γ ˙x + ω
2
0
x = 0 . (1.1)
Здесь x(t) — переменная, описывающая состояние системы (смещение
грузика, заряд конденсатора и т.д.), γ — параметр, характеризующий по-
тери энергии (трение в механической системе, сопротивление в контуре),
ω
0
— собственная частота колебаний, t — время. Точками сверху принято
обозначать производные по времени: ˙x = dx/dt, ¨x = d
2
x/dt
2
и т.д.
Уравнение (1.1) есть линейное однородное дифференциальное уравне-
ние второго порядка и оно является примером линейной динамической
системы. Основные понятия теории динамических систем будут рассмо-
трены в гл. 2, здесь же мы обсудим свойство линейности.
Поведение линейных систем описывается функциональным уравнени-
ем
ˆ
L x = f, где
ˆ
L — линейный оператор, f — известная функция. Опера-
тор
ˆ
L называется линейным, если для любых двух функций x
1
(t) и x
2
(t)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
