Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

16
§ 2. Консервативный осциллятор
Если потери в системе отсутствуют (γ = 0), то вместо (1.1) получаем
уравнение консервативного осциллятора
¨x + ω
2
0
x = 0 , (1.2)
энергия колебаний которого сохраняется во времени. Та кой осциллятор
является частным случаем нелинейного консервативного осциллятора
¨x + f(x) = 0 , (1.3)
для которого постоянной во времени остается сумма кинетической и по-
тенциальной энергий
W = W
к
+ W
п
=
α ˙x
2
2
+ α
x
Z
x
0
f(ξ) dξ . (1.4)
Коэффициент α имеет свой смысл для каждой конкретной системы. На-
пример, для грузика на пружинке α — масса. Дифференцируя (1.4) по
времени, получаем
˙
W = α ˙x[¨x + f (x)] = 0, т.е. величина W действительно
не зависит от t.
Чтобы в системе (1.3) существовали колебания, потенциальная энер-
гия W
п
(x) как функция x должна иметь локальный минимум. Считая от-
клонения осциллятора от точки минимума x
0
малыми, положим W
п
(x) ≈
W
п
(x
0
)+β(x−x
0
)
2
/2, β = d
2
W
п
(x
0
)/dx
2
6= 0. Используя это выражение в
формуле для полной энергии и приравнивая
˙
W нулю, получаем уравнение
(1.2), причем
ω
2
0
= β/α . (1.5)
Таким о бразом, уравнение гармонического осцил лятора получается из об-
щего случая (1.3) в результате замены функции потенциальной энергии ее
квадратичной аппроксимацией вблизи локального минимума. Если β = 0,
то в разложении потенциальной энергии в ряд Тейлора необходимо удер-
живать следующие за квадратичным слагаемые, в этом случае уравнение
осциллятора не будет линейным даже для малых колебаний.
Формула (1.5) очень удобна для вычисления собственных частот ли-
нейных систем с одной степенью свободы, для этого достаточно выразить
потенциальную и кинетическую энергии системы через любую подходя-
щую переменную x, определяющую состояние системы, и разложить по-
лученные выражения в ряд до квадратичных слагаемых по x и ˙x. Много
подобных задач можно найти в [4].

Страницы