Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

15
из области его определения выполняется условие
ˆ
L [C
1
x
1
(t) + C
2
x
2
(t)] =
= C
1
ˆ
Lx
1
(t) + C
2
ˆ
Lx
2
(t), где C
1
, C
2
— постоянные. Из линейности опера-
тора
ˆ
L следуют два утверждения, составляющие содержание принципа
суперпозиции.
1) Если x
1
(t) и x
2
(t) — два решения уравнения
ˆ
Lx = 0, то их линейная
комбинация C
1
x
(
t) + C
2
x
2
(t) также является решением.
2) Если x
1
(t) и x
2
(t) — два решения неоднородного уравнения
ˆ
Lx = f,
то их разность x(t) = x
1
(t) −x
2
(t) является решением соответству-
ющего однородного уравнения
ˆ
Lx = 0.
Доказательство этих утверждений элементарно просто. Принцип супер-
позиции играет фундаментальную роль во всей линейной теории коле-
баний и волн, именно благодаря ему часто удается построить решение
линейной задачи в замкнутом виде.
Большинство колебательных систем подчиняется принципу суперпо-
зиции только приближенно, при выполнении определенных условий, чаще
всего — малости отклонения системы от положения равновесия. Однако,
как показано ниже, не всегда малость отклонения я вляется достаточным
условием линейности колебаний.
Математическим аппаратом, адекватным задач ам теории колебаний,
является теория обыкновенных дифференциальных уравнений [1–3], а в
случае линейных систем — теория линейных о быкновенных дифферен-
циальных уравнений.
Уравнения, в которые время не входит явным образом, соответствуют
автономным системам. Их параметры и действующие на них внешние
силы на зависят от времени. Гармонический осциллятор (1.1) — автоном-
ная система.
Порядок дифференциального уравнения определяется степенью вхо-
дящей в него старшей производной. Порядок уравнения совпадает с чис-
лом независимых начальных условий, которые необходимо задать в фик-
сированный момент времени, чтобы однозначно определить решение. По-
мимо порядка дифференциального уравнения используют также понятие
числа степеней свободы. Оно равно порядку дифференциального уравне-
ния, деленному на два. Уравнению второго порядка соответствует система
с одной степенью свободы, третьего порядка — с полутора степенями, чет-
вертого порядка — с двумя, и т.д. Линейный осциллятор — это система
с одной степенью свободы.

Страницы