Составители:
Рубрика:
143
При заданных начальных условиях, комбинируя выражения (7.65),
можно представить решение в тригонометрической форме
x(t) =
A
0
p
ω(t)
cos
t
Z
ω(t
0
) dt
0
+ ϕ
0
= A(t) cos [Φ(t)] , (7.67)
где A(t) = A
0
/
p
ω(t) — медленно меняющаяся амплитуда колебаний,
Φ(t) =
R
t
ω(t
0
) dt
0
+ ϕ
0
— их фаза, ϕ
0
— начальная фаза. Формула (7.67)
показывает, что колебание осциллятора с медленно меняющимися пара-
метрами представляет собой сигнал, промодулированный по амплитуде и
частоте. Это обстоятельство широко используется в радиотехнике. Под-
черкнем важное соотношение между фазой колебаний и мгновенной ча-
стотой, которое потребуется в дальнейшем:
dΦ(t)
dt
= ω(t) . (7.68)
Рассмотрим вопрос, как меняется энергия осциллятора при медлен-
ном изменении его параметров. Чтобы записать выражение для энергии,
конкретизируем тип осциллятора. Пусть это будет шарик массы m на
пружинке с жесткостью k, которая медленно меняется во времени. Тогда
k(t) = mω
2
(t), и энергия равна E = m[ ˙x
2
(t)+ω
2
(t)x
2
(t)]/2. Для ˙x(t) мож-
но записать ˙x(t) ≈ −ω(t)A(t) sin[Φ(t)]. При вычислении производной мы
отбросили слагаемое пропорциональное
˙
A(t), так как его учет означал бы
превышение точности: оно имеет тот же порядок малости, что и члены
асимптотического ряда, отброшенные при выводе (7.65). Учитывая это,
для энергии колебаний получаем
E =
mA
2
0
2
ω
2
(t) sin
2
Φ(t) + ω
2
(t) cos
2
Φ(t)
ω(t)
=
mA
2
0
2
ω(t) .
Мы пришли к важному соотношению
I =
E(t)
ω(t)
= const , (7.69)
из которого следует, что энергия осциллятора меняется со временем про-
порционально изменению его частоты. Такие комбинации динамических
переменных системы, которые о стаются постоянными при медленном из-
менении ее параметров, называются адиабатическими инвариантами [13].
Для осциллятора с медленно меняющимися параметрами отношение энер-
гии к частоте колебаний — адиабатический инвариант.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- …
- следующая ›
- последняя »
