Составители:
Рубрика:
141
Решение уравнения Рикатти ищем в виде
y(ξ) = y
−1
(ξ)/ε + y
0
(ξ) + εy
1
(ξ) + . . . . (7.63)
Индекс при каждой функции y
i
(ξ) равен степени малого параметра ε,
на которую она умножается в ряде (7.63). Подставим (7.63) в (7.62) и
приравняем нулю слагаемые, пропорциональные каждой степени ε по от-
дельности. Получаем:
ε
0
: y
2
−1
(ξ) + f(ξ) = 0 ,
ε
1
: y
0
−1
(ξ) + 2y
−1
(ξ)y
0
(ξ) = 0 ,
ε
2
: . . . ,
Из первого уравнения находим y
−1
(ξ) = ±i
p
f(ξ) (мы считаем, что f (ξ) >
0, что соответствует колебаниям осциллятора, а не апериодическому за-
туханию
5
). Подставляя y
−1
(ξ) во второе уравнение, находим
y
0
(ξ) = −
y
0
−1
(ξ)
2y
−1
(ξ)
=
d
dξ
ln |y
−1
(ξ)|
−1/2
=
d
dξ
ln |f(ξ)|
−1/4
.
Ограничившись двумя найденными членами ряда, получаем для x(ξ) при-
ближенное решение:
x(ξ) = exp
±i
1
ε
ξ
Z
p
f(ξ
0
) dξ
0
+ ln |f(ξ)|
−1/4
=
=
1
4
p
f(ξ)
exp
±i
1
ε
ξ
Z
p
f(ξ
0
) dξ
0
. (7.64)
Использованная процедура приводит к асимптотическому ряду, кото-
рый расходится при увеличении количества членов ряда: при фиксирован-
ном ε, начиная с некоторого номера n, следующие слагаемые оказываются
не меньше, а больше предыдущих. Однако, если ограничиться конечным
отрезком ряда, то при ε → 0 он будет давать все более и более хорошие
приближения к точному решению
6
. При малых ε уже во втором порядке,
который был учтен при выводе (7.64), получается очень хорошее прибли-
женное аналитическое решение.
5
Сам метод решения справедлив и для случая f (ξ) < 0.
6
Подробнее о свойствах асимпторических рядов см. [10].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
