Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

142
Для применимости приближенного решения (7.64) необходимо, как
уже отмечалось, выполнение условия (7.59). Однако само по себе оно
может оказаться недостаточным, поскольку получено путем оценки по
порядку величины различных членов в уравнении (7.7). Более правильно
оценивать справедливость сделанного приближения, оценивая малость
отброшенных членов разложения решения в асимптотический ряд (7.63).
Более подро бно этот вопрос обсуждается в [11, §46].
Возвращаясь к размерным переменным, два линейно независимых ре-
шения решения уравнения (7.7) с медленно меняющейся частотой ω(t)
можно представить в виде
x(t) =
1
p
ω(t)
exp
±i
t
Z
ω(t
0
) dt
0
. (7.65)
Эти решения называются приближением Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна,
или ВКБ-приближением [11, 12]. ВКБ-приближение сыграло огромную
роль в квантовой механике, так как исходное уравнение (7.7) описывает
не только осцил лятор с переменными параметрами, но также и распро-
странение волн в слабонеоднородных средах, в частности, распростране-
ние волны де-Бройля для микрочастицы в медленно меняющемся в про-
странстве потенциальном поле. Уравнение для волн в неоднородной вдоль
одной из пространственных координат среде получается из (7.7) формаль-
ной заменой t → x, ω
2
(t) → k
2
(x), где k(x) — локальное волновое число
в точке x. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в главе 17.
Отметим, что метод получения ВКБ-решения нигде не использовал
положительность функции ω
2
(t). Главное, чтобы во всей области изме-
нения независимой переменной выполнялось условие (7.59). Если вместо
ω
2
(t) > 0 имеем ω
2
(t) < 0, то ВКБ-решение для такого сл учая есть
x(t) =
1
p
|ω(t)|
exp
±
t
Z
|ω(t
0
)|dt
0
. (7.66)
В теории колебаний решения вида (7.66) используются довольно редко,
однако для задач распространения волн они оказываются столь же важ-
ными, как и решения (7.65)
7
. Они описывают, в частности, туннельный
эффект в квантовой механике.
7
Естественно, при этом следует сделать указанный выше переход от переменной t к
переменной x в соответствии с пространственно-временной аналогией.

Страницы