Составители:
Рубрика:
144
Рис. 7.6. Геометрическая интерпритация адиабатического
инварианта. Площадь, ограниченная замкнутой траектори-
ей, есть адиабатический инвариант.
Формула (7.69) показывает, что в таком процессе энергия осциллят ора
может существенно меняться. Действительно, если весь процесс длится
большое время, то абсолютное значение частоты изменится очень сильно,
хотя условие (7.59) нарушено не будет, при этом осциллятор отдаст или
наоборо т приобретет значительную часть своей энергии.
Адиабатическ ий инвариант имеет геометрическую интерпретацию. Пред-
ставим траекторию движения осциллятора на фазовой плоскости, в кото-
рой в качестве координат выбраны смещение осциллятора x и импульс
p = ˙x/m. Если пара метры не меняются, то траектория движения с энер-
гией E есть эллипс с полуосями, равными
p
2E/k и
√
2mE (см. рис. 7.6),
а его площадь равна S = 2π
p
m/k E = 2πE/ω = 2πI. Если параметр мед-
ленно меняется со временем, то в течение одного периода колебаний тра-
ектория будет близка к эллипсу, соответствующему текущим значениям
энергии и частоты, площадь которого пропорциональна адиабатическому
инварианту I. Следовательно, на больших интервалах времени т раекто-
рия осциллятора будет трансформироваться так, что локально в каждый
момент она будет близка к замкнутой траектории, площадь которой со-
храняется.
Площадь, ограниченную замкнутой траекторией на фазовой плоскости
можно представит ь в виде S =
H
p dx, где инте грирование ведется вдоль
траектории по одном у ее витку. Это позволяет записать
I =
1
2π
I
p dx . (7.70)
В такой форме выражение для адиабатического инварианта справедли-
во не только для гармонического осцилл ятора, но и для произвольной
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- …
- следующая ›
- последняя »
