Составители:
Рубрика:
146
параметры системы) есть ~ω ≈ 2~ω
0
, а один квант полезного сигнала име-
ет энергию ~ω
0
. Таким образом, один квант накачки распадается на два
кванта полезного сигнала, за счет чего и растет полная энергии колеба-
ний на частоте ω
0
.
Адиабатический инвариант для гармонического осциллятора можно
также получить непосредственно из уравнения движения осциллятора,
используя метод усреднения. Для этого умножим уравнение (7.7) на 2 ˙x(t)
и проведем следующие преобразования:
2 ˙x¨x + ω
2
(t)2 ˙xx =
d ˙x
2
dt
+ ω
2
(t)
dx
2
dt
=
=
d
dt
˙x
2
+ ω
2
(t)x
2
−ω
2
(t)x
2
1
ω
2
(t)
dω
2
(t)
dt
= 0 .
Так как потенциальная энергия системы равна E
п
= mω
2
(t)x
2
/2, а полная
— E = m[ ˙x
2
+ ω
2
(t)x
2
]/2, то это соотношение можно записать в виде
dE
dt
= 2
1
ω(t)
dω(t)
dt
E
п
.
Усредним его по одному периоду быстрых колебаний 2π/ω(t). В течении
этого времени полная энергия практически не меняется, так же, как и
множитель перед E
п
, а средняя по периоду потенциальная энергия равна
половине полной энергии. Следовательно
1
E(t)
dE(t)
dt
=
1
ω(t)
dω(t)
dt
.
Проинтегрировав это уравнение, приходим к соотношению E(t)/ω(t) =
= const, то есть к выражению для адиабатического инварианта.
В качестве физического примера рассмотрим электрон, вращающий-
ся в однородном магнитном поле (ротатор). Для постоянного во времени
и однородного в пространстве поля движение ротатора уже было иссле-
довано в гл. 1. При произвольных начальных условиях электрон будет
двигаться по винтовой линии с осью вдоль магнитного поля. Так как про-
дольное движение не имеет отношения к интересующему нас эффекту,
будем считать, что начальная продольная скорость электрона равна нулю,
так что все движение происходит в поперечной к направлению магнит-
ного поля плоскости, с координатами x и y. Если магнитное поле посто-
янно, то движение происходит по окружности с циклотронной частотой
ω
c
= eB/mc (используем гауссову систему единиц). Пусть теперь магнит-
ное поле медленно меняется за циклотронный период 2π/ω
c
. В результате
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- …
- следующая ›
- последняя »
