Составители:
Рубрика:
147
индуцируется электрическое поле, равное E = −[z
0
, r]
˙
B(t)/(2c), где z
0
—
единичный вектор в направлении магнитного поля. Движение электрона
под действием силы Лоренца описывается уравнением (релятивистскими
эффектами здесь, для простоты, пренебрегаем)
m
d
2
r
dt
2
= −eE −
eB(t)
c
˙
r, z
0
.
Расписанное в координатах, оно дает два уравнения
¨x(t) + ω(t) ˙y(t) +
1
2
˙ω(t)y(t) = 0 ,
¨y(t) − ω(t) ˙x(t) −
1
2
˙ω(t)x(t) = 0 ,
(7.72)
где ω(t) = eB(t)/(mc). Если ввести новую переменную ξ = x + iy, то
можно представить эту систему уравнений в виде одного комплексного
уравнения для величины ξ(t):
¨
ξ(t) − iω(t)
˙
ξ(t) −
i
2
˙ω(t)ξ(t) = 0 . (7.73)
Слагаемое с первой производной можно исключить, используя замену
переменных (7.5) : ξ(t) = u(t) exp[(i/2)
R
t
ω(t
0
)dt
0
]. Для функции u(t) по-
лучаем уравнение
¨u(t) +
ω
2
(t)
4
u(t) = 0 , (7.74)
соответствующее осциллятору с медленно меняющейся частотой ω(t)/2.
Отличие от уравнения (7.7) состоит в том, что в данном случае коорди-
ната осциллятора является комплексной величиной. ВКБ-решение этого
уравнения имеет вид
u(t) =
A
1
p
ω(t)
exp[iθ(t)/2] +
A
2
p
ω(t)
exp[(−iθ(t)/2] ,
где θ(t) =
R
t
ω(t
0
) dt
0
, A
1
и A
2
— д ве комплексные постоянные, зависящие
от начальных условий. Возвращаясь к переменной ξ(t), получаем:
ξ(t) =
A
1
p
ω(t)
exp[iθ(t)] +
A
2
p
ω(t)
. (7.75)
Первое слагаемое описывает вращение по окружности с радиусом
|A
1
|/
p
ω(t) и мгновенной частотой вращения ω(t), а второе слагаемое
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- …
- следующая ›
- последняя »
