Составители:
Рубрика:
149
причем ω ω
0
= 2π/T
0
, T
0
— характерное время движения по траекто-
рии автономной системы, если внешняя переменная сила не действует.
Движение частицы представляет собой перемещение вдоль плавной
траектории, на которое наложены быстрые осцилляции под действием
переменной силы. Так как частота внешней силы велика, то амплитуда
осцилляций должна быть малой из-за инерции частицы. Будем искать ре-
шение уравнения (7.79) в виде x(t) = X(t) + µχ(t), µ ∼ ω
0
/ω 1. Функ-
ция X(t) представляет собой результат усреднения траектории x(t) по
периоду быстрого движения 2π/ω, следовательно можно записать
x(t) =
= X(t). Подставляя такую форму решения в (7.79) и разлагая функции
f(x) и F (x) в ряды Тейлора вплоть до слагаемых, пропорциональных
первой степени малого параметра µ, получаем
¨
X(t) + µ ¨χ(t) + f[X(t)] + µ
∂f
∂x
X(t)
χ(t) =
= F [X(t)] cos ωt + µ
∂F
∂x
X(t)
χ(t) cos ωt . (7.80)
Это уравнение содержит как медленно меняющиеся во времени слагае-
мые, так и быстро осциллирующие, они должны по отдельности компен-
сировать друг друга. Для быстро переменных величин получаем
µ¨χ(t) = F [X(t)] cos ωt . (7.81)
Другие слагаемые пропорциональные µ опущены, так как они малы. Что
касается члена в (7.81), содержащего ¨χ, то он умножается на большую
величину ω
2
и его следует сохранить. При решении этого уравнения силу
F [X(t)] следует считать "замороженной"во времени. Тогда
χ(t) = −
F [X(t)]
µω
2
cos ωt . (7.82)
Подставим это решение в уравнение (7.80) и усредним его по быстрым
осцилляциям , при этом получим следующее уравнение для медленного
движения:
¨
X + f(X) = −
1
ω
2
∂F
∂x
x=X(t)
F [X(t)]
cos
2
ωt = −
∂
∂x
F
2
(x)
2ω
2
x=X(t)
.
(7.83)
Мы получили очень важный результат, совершенно неожиданный с
точки зрения интуитивных представлений: вместо того, чтобы "мелко
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- …
- следующая ›
- последняя »
