Составители:
Рубрика:
150
вибрируя"под действием быстрых внешних пульсаций, сохранить сред-
нее движение по т раекториям, совпадающим с траекториями автономно-
го аналога, наш новый эффективный осциллятор ведет себя совершенно
иначе — в возвращающей силе появилось дополните льное не малое сла-
гаемое, пропорциональное квадрату амплитуды внешних пульсаций.
Предположим, что медленно меняющаяся сила, действующая на ча-
стицу, потенциальная, т.е. что ее можно представить в виде f(x) = −
−∂U(x)/∂x. Тогда усредненное движение происходит в поле эффектив-
ного потенциала, равного
U
эфф
(x) = U(x) +
F
2
(x)
2ω
2
. (7.84)
Из этого выражения следует, что дополнительная сила так действует на
осциллятор, чтобы он смещался в о бласть с меньшим значением ампли-
туды быстро осциллирующего воздействия. Дополнительная сила не яв-
ляется малой, более того, она может качественно изменить характер дви-
жения системы.
Впервые этот результат был получен в 1951 г. П.Л. Капицей и приме-
нен к расчету маятника с быстро вибрирующим подвесом [15,16]. Теоре-
тическая модель маятника Капицы и схематическое изображение прибора
для опытов с вибрирующим маятником представлены на рис. 7.7. Точка
подвеса маятника, находящегося вблизи верхнего положения равновесия,
совершает вибрации вдоль вертикальной оси с амплитудой a и частотой
ω. Уравнение движения маятника Капицы имеет вид
ml
2
¨
θ = mgl sin θ − mlaω
2
sin ωt sin θ . (7.85)
где l — длина маятника, m — его масса. Предположив, что угол откло-
нения маятника θ(t) = ϕ(t) + β(t), где ϕ(t) и β(t) отвечают медленному
и быстрому движениям, и применив описанную выше процедуру усред-
нения, приходим в выводу, что в результате вибраций точки подвеса на
маятник действует дополнительный момент. Он ведет себя как пара сил,
стремящихся расположить маятник так, чтобы его стержень был ориен-
тирован по направлению вибраций, т.е. вдоль оси y. Э тот момент равен
M
вибр
= −(ma
2
ω
2
/4) sin 2ϕ .
Он не зависит от длины маятника и пропорционален квадрату а м пли-
туды колебаний подвеса. Полный момент в уравнении для усредненного
движения равен
M
эфф
(ϕ) = mgl sin ϕ − (ma
2
ω
2
/4) sin 2ϕ . (7.86)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- …
- следующая ›
- последняя »
