Составители:
Рубрика:
140
представить в виде
ω
2
(t) = ω
2
0
f(t/τ) , (7.58)
где ω
0
— параметр с размерностью частоты, f — безразмерная функ-
ция величиной порядка единицы, τ — характерное время ее изменения.
Условие медленности изменения параметра можно выразить соотношени-
ем ω
0
τ 1, ил и, поскольку τ ∼ |f|/|
df
dt
|, это же условие можно записать
непосредственно для ω(t):
1
|ω
2
(t)|
dω(t)
dt
1 . (7.59)
Видно, что это соотношение во всяком случае нарушается вбл изи нулей
функции ω(t), поэтому далее м ы предполагаем, чт о в рассматриваемом
интервале времени таких точек нет.
Для построения приближенного решения удобно перейти к безраз-
мерной переменной ξ = t/τ и ввести малый параметр ε = 1/(ω
0
τ), тогда
уравнение (7.58) приобретает вид
ε
2
d
2
x(ξ)
dξ
2
+ f(ξ) x = 0 . (7.60)
Уравнение (7.60) имеет малый параметр при старшей производной и его
решение ищется следующим образом. Сначала сделаем замену перемен-
ных
x(ξ) = exp[
ξ
Z
y(ξ
0
) dξ
0
] = exp[θ(ξ)] . (7.61)
Перва я и вторая производные о т (7.61) равны:
x
0
(ξ) = y(ξ) exp[θ(ξ)] , x
00
(ξ) = [y
0
(ξ) + y
2
(ξ)] exp[θ(ξ)] .
Подставляя эти выражения в (7.60), получаем уравнение для функции
y(ξ):
ε
2
dy(ξ)
dξ
+ ε
2
y
2
(ξ) + f (ξ) = 0 . (7.62)
Это уравнение называется уравнением Рикатти, и оно, в отличие от
(7.60), является нелинейным. Тем не менее, оно оказывается более удоб-
ным для построения ряда теории возмущений, чем исходное.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- …
- следующая ›
- последняя »
