Составители:
Рубрика:
160
системы через динамические переменные, выбранные в качестве коорди-
нат осцилляторов. Например, в качестве таких переменных можно взять
x
1
и x
2
— смещения концов балки от положения равновесия. Тогда по-
тенциальная энергия системы равна
1
U = k
1
x
2
1
/2 + k
2
x
2
2
/2. Кинетическую
энергию проще выразить через смещение центра тяжести балки ξ и угол
ее поворота θ вокруг оси, проходящей через центр тяжести: K = M
˙
ξ
2
/2+
+ Iξ
2
/2, где M и I — масса балки и момент ее инерции относительно
точки P. Велич ины x
1
, x
2
, ξ и θ связаны между собой соотношениями
x
1
= ξ − l
1
θ ,
x
2
= ξ + l
2
θ ,
используя которые, выразим кинетическ ую энергию системы через x
1
и
x
2
:
K =
1
2l
2
[(Ml
2
2
+ I) ˙x
2
1
+ 2(Ml
1
l
2
− I) ˙x
1
˙x
2
+ (Ml
2
1
+ I) ˙x
2
2
] ,
где l = l
1
+l
2
— общая длина балки. Уравнения движения можно получить
из лагранжиана системы L = K − U , используя уравнения Лагранжа [2]
d
dt
∂L
∂ ˙x
i
−
∂L
∂x
i
= 0 , i = 1, 2 .
Это приводит к уравнениям
Ml
2
2
+ I
l
2
¨x
1
+ k
1
x
1
+
Ml
1
l
2
− I
l
2
¨x
2
= 0 ,
Ml
2
1
+ I
l
2
¨x
2
+ k
2
x
2
+
Ml
1
l
2
− I
l
2
¨x
1
= 0
(8.4)
Уравнения (8.4) имеют тот же вид, что и уравнения (8.3), описыва-
ющие индуктивную связь между контурами. Дл я механических систем
подобный способ связи принято называть инерционным.
Более внимательное рассмотрение последнего примера показывает, од-
нако, что различие между силовой и инерционной (или емкостной и ин-
дуктивной) связью в значите льной степени является условным. Действи-
тельно, если вместо того, чтобы выражать кинетическую энергию через
переменные x
1
и x
2
, мы выразим потенциальную энергию через ξ и θ, то
1
Вклад в потенциальную энергию, связанный с силой тяжести, не учитываем, так
как она не я вляется в данном случае возвращающей, и не может привести к появлению
колебательного движения.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- …
- следующая ›
- последняя »
