Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

163
положить также l
1
= l. Уравнения (8.1) принимают вид
¨ϕ
1
+ ω
2
0
ϕ
1
=
k
m
1
(ϕ
2
− ϕ
1
) ,
¨ϕ
2
+ ω
2
0
ϕ
2
= −
k
m
2
(ϕ
2
− ϕ
1
) .
(8.9)
Здесь введено обозначение ω
2
0
= g/l. Поведение связанных идентичных
осцилляторов легко понять из простых соображений, связанных с сим-
метрией системы. Предположим, что в начальный момент времени оба
маятника отклонены на один и тот же угол ϕ
0s
и имеют одинаковую уг-
ловую скорость ˙ϕ
0s
. Очевидно, что д вижение системы будет таким, что в
любой момент времени пружина останется не растянутой, т. е. маятник
будет совершать гармонические колебания с частотой ω
1
= ω
0
=
p
g/l,
соответствующей одиночному маятнику без связи. Углы отк лонения ос-
цилляторов в зависимости от времени равны
ϕ
1
(t) = ϕ
2
(t) = ϕ
0s
cos ω
1
t +
˙ϕ
0s
ω
1
sin ω
1
t . (8.10)
Предположим теперь, что при t = 0 маятники отклонены на одинаковый
угол ϕ
0a
, но в разные стороны, и их начальные угловые скорости равны по
абсолютной величине ϕ
0a
, но имеют разные знаки. В этом случае очевид-
но, что средняя точка пружины в любой последующий момент времени
останется неподвижной, поэтому можно заменить систему двух маятни-
ков на один, прикрепленный пружиной половинной длины к неподвижной
стенке (см. рис. 8.3). Колебания будут иметь частоту ω
2
=
p
ω
2
0
+ 2k/m,
их временная зависимость будет иметь вид
ϕ
1
(t) = −ϕ
2
(t) = ϕ
0a
cos ω
2
t +
˙ϕ
0a
ω
2
sin ω
2
t . (8.11)
Таким образом, специальным подбором начал ьных условий в системе
можно возбудить гармонические колебания с одной из двух частот ω
1
или ω
2
. В первом случае маятники двигаются идентично друг другу, та-
кие колебания называются симметричными, а соответствующий им тип
колебаний — симметричной модой. Во втором случае движение маятни-
ков происходит в противофазе, такой тип колебаний называется антисим-
метричной модой.
Для того, что бы возбудить в чистом виде симметричную или анти-
симметричную моды, необходим, как мы видим, специальный подбор на-
чальных условий. При произвольных начальных условиях движение будет

Страницы