Составители:
Рубрика:
165
осциллятора ξ
s
или ξ
a
не имеет прямого физического толкования, как пе-
ременная, описывающая движение какой-либо части системы. Напротив,
в них вносят равноправный вклад углы отклонения обоих осцилляторов
ϕ
1
и ϕ
2
, так как и в симметричном, и в антисимметричном движениях
участвуют оба осциллятора. Решения уравнений (8.13) для величин ξ
s
и ξ
a
записываются обычным образом, и возврат к переменным ϕ
1
и ϕ
2
приводит к выражениям (8.12).
Симметричная и ант исимметричная моды выступают в данном приме-
ре в качестве нормальных типов колебаний, о которых шла речь в пре-
дыдущем параграфе. Полная энергия системы (c учетом малости углов
отклонения) имеет вид
E =
ml
2
˙ϕ
2
1
2
+
ml
2
˙ϕ
2
2
2
+
mglϕ
2
1
2
+
mglϕ
2
2
2
+
kl
2
(ϕ
2
− ϕ
1
)
2
2
.
Принимая во внимание, что ξ
2
s
+ξ
2
a
= ϕ
2
1
+ϕ
2
2
и
˙
ξ
2
s
+
˙
ξ
2
a
= ˙ϕ
2
1
+ ˙ϕ
2
2
, получаем
E =
ml
2
˙
ξ
2
1
2
+
mglξ
2
1
2
+
ml
2
˙
ξ
2
2
2
+
(mgl + 2kl
2
)ξ
2
2
2
. (8.14)
Вклад в энергию колебаний симметричной и антисимметричной мод неза-
висим друг от друга. Есл и, используя уравнения Лагранжа, записать
уравнения системы, то, естественно, получатся уравнения (8.13).
Наиболее отчетливо свойства решений (8.12) проявляются при специ-
альном выборе нач альных условий. Пусть один из маятников отклонили
на угол ϕ
0
, второй удерживают в положении равновесия, и при t = 0 ма-
ятники отпустили без начальной скорости. Такая ситуация соответствует
следующему выбору постоянных в (8.12):
ϕ
0s
= ϕ
0a
=
ϕ
0
2
, ˙ϕ
0s
= ˙ϕ
0a
= 0 .
Колебания маятников будут происходить по закону
ϕ
1
(t) =
ϕ
0
2
(cos ω
1
t + cos ω
2
t) = ϕ
0
cos
ω
2
− ω
1
2
t cos
ω
1
+ ω
2
2
t ,
ϕ
2
(t) =
ϕ
0
2
(cos ω
1
t − cos ω
2
t) = ϕ
0
sin
ω
2
− ω
1
2
t sin
ω
1
+ ω
2
2
t .
(8.15)
Предположим, что выполняется условие k/m ω
2
0
(приближение слабой
связи). Тогда
ω
2
− ω
1
=
r
ω
2
0
+
2k
m
− ω
0
≈
k
mω
0
,
ω
1
+ ω
2
=
r
ω
2
0
+
2k
m
+ ω
0
≈ 2ω
0
+
k
mω
0
≈ 2ω
0
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- …
- следующая ›
- последняя »
