Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

185
никновения резонанса в системе необходимо, но недостаточно, чтобы
частота внешней силы совпадала с одной из собственных частот. Нали-
чие нескольких сил, действующих на систему, позволяет так подобрать
их относительную величину, что резонанс не возникнет.
Покажем это для системы двух связанных осцилляторов. Пусть ча-
стота внешних сил совпадает с частотой первой собственной моды, т. е.
p = ω
1
, а силы F
1
и F
2
подобраны так, что
kF
1
/ ¯m
1
¯m
2
+ (−ω
2
1
+ n
2
1
)F
2
/ ¯m
2
. (8.53)
Используя характеристическое уравнение (8.28), легко показать, что при
этом будет также выполняться соотношение
(−ω
2
1
+ n
2
2
)F
1
/ ¯m
1
+ kF
2
/ ¯m
1
¯m
2
,
т. е. числители обоих д робей в (8.50) равны нулю. При этом равны нулю
и знаменатели дро бей, так как p = ω
1
. Соотношения (8.50) оказываются в
данном случае неприменимыми. Это происходит потому, ч то определитель
системы линейных уравнений (8.49), при p = ω
1
обращается в нуль и она
становится вырожденной. В таком случае необходим более тщательный
анализ, который основан на переходе к уравнениям для собственных мод.
Умножим второе из уравнений (8.48) на r
2
и вычтем из первого; кроме
того, умножим первое уравнение на r
1
и вычтем из второго. Как мы
уже видели, если внешние силы равны нулю, такая процедура приводит
к уравнениям для собственных т ипов колебаний. В случае, когда силы
отличны от нуля, получаем уравнения для собственных мод под внешним
воздействием:
¨
ξ
1
+ ω
2
1
ξ
1
=
1
√
1 − r
1
r
2
(F
1
/ ¯m
1
− r
2
F
2
/ ¯m
2
) ,
¨
ξ
2
+ ω
2
2
ξ
2
=
1
√
1 − r
1
r
2
(−r
1
F
1
/ ¯m
1
+ F
2
/ ¯m
2
) .
(8.54)
В интересующем нас случае обе внешние силы имеют одинаковую часто-
ту p = ω
1
и выполняется условие для комплексных ам плитуд сил (8.53),
что выражается так: F
1
/ ¯m
1
= r
2
F
2
/ ¯m
2
, поэтому правая часть первого
уравнения в (8.54) равна нулю. Так им образом, отклик системы фор-
мируется только из колебаний второй моды. Решение уравнений (8.54)
можно записать в виде:
ξ
1
(t) ≡ 0 , ξ
2
(t) = Re
1
√
1 − r
1
r
2
F
2
/ ¯m
2
−ω
2
1
+ ω
2
2
e
iω
1
t
.

Страницы