Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

187
численные методы расчета колебаний в сплошных средах также часто основа-
ны на представлении распределенной системы в виде связанных между собой
элементарных осцилляторов. Например, уравнения колебаний тонких оболочек
в строительной механике [6], или колебания электромагнитного поля в резо-
наторах современных сверх высокочастотных приборов [7, 8] можно, с помощью
различных методов дискретизации уравнений в частных производных, привести
к системам связанных ли нейных осцилляторов, причем число осцилляторов в
таком случае может достигать сотен тысяч и даже миллионов!
По э той причине необходимо иметь общий метод расчета собственных ко-
лебаний в системе связанных осцилляторов общего вида. Изложению такого
метода посвящен этот параграф.
Рассмотрим систему N связанных осцилляторов, кинетическая и потенци-
альная энергии которой выражаются формулами
K =
1
2
N
X
i,j=1
m
ij
˙x
i
˙x
j
, U =
1
2
N
X
i,j=1
k
ij
x
i
x
j
. (8.55)
Удобно воспользоваться матричными обозначениями, вводя вектор-столбец
h
x
i
=
=
h
x
1
, x
2
, . . . , x
N
i
T
и матрицы
h
K
i
и
h
M
i
:
h
K
i
=
k
11
k
12
. . . k
1N
k
21
k
22
. . . k
2N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k
N1
k
N2
. . . k
NN
,
h
M
i
=
m
11
m
12
. . . m
1N
m
21
m
22
. . . m
2N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m
N1
m
N2
. . . m
NN
. (8.56)
По очевидным соображениям матрица
h
K
i
называется матрицей жесткости, а
матрица
h
M
i
— матрицей масс. Матрицы
h
K
i
и
h
M
i
обладают двумя свойства-
ми, чрезвычайно важными с точки зрения теоретического анализа и практиче-
ских вычислений:
1) Непосредственно из их определения следует, что m
ij
= m
ji
и k
ij
= k
ji
,
то есть
h
K
i
=
h
K
i
T
, и
h
M
i
=
h
M
i
T
. Такие матрицы называются сим-
метрическими [3, 9]. Их элементы, лежащие симметрично относительно
главной диагонали равны друг другу.
2) Симметрические матрицы
h
K
i
и
h
M
i
обладают с войством положитель-
ной определенности [3,9], которое означ ает, ч то для произвольных нену-

Страницы