Составители:
Рубрика:
186
Производя обратный переход к координатам осцилляторов x
1
и x
2
, полу-
чаем
x
1
(t) = Re
e
iω
1
t
F
1
/ ¯m
1
ω
2
2
− ω
2
1
, x
2
(t) = Re
e
iω
1
t
F
2
/ ¯m
2
ω
2
2
− ω
2
1
.
Мы видим, что резонанса в системе нет, несмотря на то, что частота
внешней силы совпадает с одной из собственных частот. Объясняется это
тем, что компоненты внешней силы “ортогональны” собственному векто-
ру соответствующей моды (в данном случае первой). Другими словами
можно сказать, что величины и соотношения фаз внешних сил таковы,
что полная работа, совершаемая над системой, равна нулю.
Этот пример показывает, что условия наступления резонанса в систе-
ме связанных осцилляторов требуют обобщения по сравнению со случаем
одиночного осцилля тора. В общем случае системы N связанных осцилл я-
торов для возникновения резонанса необходимо выполнение следующих
условий:
1) Частота внешней силы
4
должна совпадат с одной из собственных
частот системы.
2) Вектор “приведенных” сил [F
1
/ ¯m
1
, F
2
/ ¯m
2
, . . . , F
N
/ ¯m
N
]
T
(T — знак
транспонирования) не должен быть ортогонален собственному век-
тору, соответствующему колебанию с этой частотой.
§ 6. Колебания системы N связанных
осцилляторов
5
Аналитическое исследование колебаний в системе N связанных осциллято-
ров, если в системе нет симметрии высокого порядка, невозможно, так как для
нахождения собственных частот требуе тся решать алгебраическое уравнение N -
ой степени относительно ω
2
. Тем не менее, на практике часто необходимо ис-
следовать колебания в системах с очень большим числом степеней свободы. Это
могут быть, например, колебания в сложных электрических схемах, или механи-
ческие вибрации в конструкциях мостов или корпусов самолетов. Современные
4
Под внешней силой в данном случае понимается вектор с компонентами, равными
силам, действующим на каждый из осцилляторов.
5
Для понимания этого параграфа желательно знакомство с курсом линейной алгебры в
объеме программы физических и механико-математических специальностей технических
вузов или университетов. Впрочем, дальнейшее изложение не зависит от содержания
этого раздела, поэтому в случае необходимости он может быть пропущен.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- …
- следующая ›
- последняя »
