Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

188
левых векторов
h
X
i
и
h
˙x
i
=
h
˙x
1
, ˙x
2
, . . . , ˙x
N
i
T
выполняются неравенства
K =
1
2
h
˙x
i
T
h
M
ih
˙x
i
> 0 , U =
1
2
h
x
i
T
h
K
ih
x
i
> 0 .
С физической точки зрения это просто условия положительности потенци-
альной и кинетической энергий; если они не выполняются, то движение
не будет носить характер колебаний вблизи положения равновесия, для
которого x
i
= 0, ˙x
i
= 0, i = 1, 2, . . . , N. Существует несколько критериев
положительной определенности произвольной симметрической матрицы,
два из которых формулируются так:
• все собственные значения положительно определенной матрицы стро-
го положительны;
• определители всех главных подматриц
6
матрицы строго положитель-
ны.
Используя введенные обозначения, можно записать функцию Лагранжа си-
стемы следующим образом:
L =
1
2
h
˙x
i
T
h
M
ih
˙x
i
−
h
x
i
T
h
K
ih
x
i
.
а уравнения динамики будут иметь вид
d
2
dt
2
h
M
ih
x
i
=
h
K
ih
x
i
. (8.57)
Наша цель — определение собственных мод системы, то есть вычисление соб-
ственных частот и соответствующее им распределение амплитуд и фаз колеба-
ний каждого из осцилляторов. Это значит, что решение уравнения (8.57) нужно
искать в виде
h
x
i
= Re{e
iωt
h
X
i
}, где
h
X
i
=
h
X
1
, X
2
, . . . , X
N
i
T
— вектор-
столбец, составленный из комплексных амплитуд. Подставляя это соотношение
в (8.57), получаем матричное уравнение
h
K
ih
X
i
= ω
2
h
M
ih
X
i
, (8.58)
которое в линейной алгебре носит название обо бщенной алгебраической про-
блемы собственных значений. Это уравнение является линейным однородным
алгебраическим уравнением относительно компонент вектора
h
X
i
, поэтому оно
6
Главная подматрица порядка n симметрической матрицы
h
A
i
получается из нее вы-
черкиванием всех строк и столбцов с номерами i, j > n.

Страницы