Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

190
Если известно решение алгебраической проблемы собственных значений
(8.58), т. е. все собственные значения и собственные векторы, то общее решение
задачи о колебаниях связанных осцилляторов представляется в виде
h
x(t)
i
= Re
(
N
X
i=1
C
i
h
X
i
i
e
iω
i
t
)
, (8.61)
где комплексные константы C
i
, i = 1, 2, . . . , N определяются из начальных усло-
вий. Если
h
x
0
i
=
h
x
1
(0), x
2
(0), . . . , x
N
(0)
i
T
— вектор начальных координат, а
h
˙x
0
i
=
h
˙x
1
(0), ˙x
2
(0), . . . , ˙x
N
(0)
i
T
—вектор начальных скоростей, то C
i
= C
0
i
+
+ iC
00
i
находятся из системы уравнений
N
X
i=1
C
0
i
h
X
i
i
=
h
x
0
i
,
N
X
i=1
C
00
i
ω
i
h
X
i
i
= −
h
˙x
0
i
. (8.62)
Расписанных по компонентам, этих уравнений 2N штук — столько, сколько
необходимо для определения неизвестных C
0
i
и C
00
i
.
Зная собственные векторы системы можно также легко найти нормальные
моды колебаний. Для этого введем квадратную матрицу
h
S
i
порядка N так, что
ее i-й столбец является i-м собственным вектором, т. е.
h
S
i
=
h
h
X
i
1
,
h
X
i
2
, . . . ,
h
X
i
N
i
. (8.63)
Используя с войства собственных векторов 1–5, перечисленные выше, легко по-
казать, что преобразование подобия
h
K
0
i
=
h
S
i
T
h
K
ih
S
i
,
h
M
0
i
=
h
S
i
T
h
M
ih
S
i
(8.64)
одновременно диагонализует матрицы
h
K
i
и
h
M
i
, т. е. приводит их к виду,
когда ненулевые элементы о боих матриц
h
K
0
i
и
h
M
0
i
присутствуют только на
главных диагоналях. Новые матрицы имеют вид
h
M
0
i
=
kX
1
k
2
0 . . . . . . . . . .
0 kX
2
k
2
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . kX
N
k
2
,
h
K
0
i
=
ω
2
1
kX
1
k
2
0 . . . . . . . . . . . . .
0 ω
2
2
kX
2
k
2
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . . . . ω
2
n
kX
N
k
2
.
(8.65)

Страницы