Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

191
где kX
i
k
2
=
h
X
i
T
i
h
M
ih
X
i
i
— квадрат нормы i-го собственного вектора. Удобно
нормировать собственные вектора так, чтобы kX
i
k
2
= 1, тогда матрица масс
приводится к единичной, а матрица жесткости содержит на главной диагонали
квадраты собственных частот системы. Вектор нормальных координат вводится
соотношением
h
ξ
i
=
h
S
i
−1
h
x
i
,
h
ξ
i
=
h
ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
N
i
. (8.66)
Действительно, учитывая правило транспонирования произведения матриц, по-
лучаем, например, для потенциальной энергии:
2U =
h
x
i
T
h
K
ih
x
i
=
h
x
i
T
h
S
i
T
−1
h
S
i
T
h
K
ih
S
ih
S
i
−1
h
x
i
=
=
h
x
i
T
h
S
i
T
−1
!
h
S
i
T
h
K
ih
S
i
h
S
i
−1
h
x
i
=
=
h
S
i
−1
h
x
i
T
h
K
0
i
h
S
i
−1
h
x
i
=
h
ξ
i
T
h
K
0
ih
ξ
i
.
(8.67)
Для кинетической энерги и можно таким же образом записать 2K =
h
˙
ξ
i
T
h
M
0
ih
˙
ξ
i
.
Если собственные векторы
h
X
i
i
нормированы в указанном выше смысле, то ки-
нетическая и потенциальная энергии системы, выраженные через переменные ξ
i
будут иметь вид
K =
1
2
N
X
i=1
˙
ξ
2
i
, U =
1
2
N
X
i=1
ω
2
i
ξ
2
i
. (8.68)
Таким образом, произвольная система N связанных гармонических осциллято-
ров представима в виде совокупности N несвязанных между собой осцилляторов
с частотами, совпадающими с собственными частотами системы.
В зак лючение этого параграфа с делаем несколько з амечаний по поводу мето-
дов решения алгебраической проблемы собственных значений (8.58). Очевидно,
если число осцилляторов больше четырех и в системе отсутствует симметрия, то
единственных способ ее решения — численный. При этом прямой метод реше-
ния, связанный с разложением детерминанта в (8.59) для определения коэффи-
циентов характеристического полинома и последующим отысканием его корней,
является сам ым неудачн ым. Можно с уверенностью сказать, что для системы
уже из 10 осцилляторов такая попытка потребовала бы невообразимо большо-
го времени, затраченного на подсчет всех необходимых определи телей, но даже

Страницы