Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

189
имеет нетривиальное решение только в том случае, если его определитель равен
нулю, то есть если выполняется условие
det
hh
K
i
− ω
2
h
M
ii
= 0 . (8.59)
Формально левая часть уравнения (8.59) есть полином степени N относительно
ω
2
, коэффициенты которого сложным образом выражаются через элементы ма-
триц
h
M
i
и
h
K
i
. Полином имеет ровно N корней {ω
2
1
, ω
2
1
, . . . , ω
2
N
}, некоторые
из них могут совпадать друг с другом, поэтому нетривиальное решение урав-
нения (8.58) существует только для одного из этих N значений частоты ω
2
.
Такие значения называются собственными значениями или собственными чис-
лами алгебраической проблемы, а вектор
h
X
i
i
, являющийся решением (8.58)
при ω
2
= ω
2
i
, называется i-м собственным вектором.
Следствием положительной определенности матриц
h
X
i
и
h
K
i
являются
важные свойства собственных чисел и собственных векторов [3, 9, 10], которые
приводятся здесь без доказательства:
1) все собственные числа строго положительны: ω
2
i
> 0, i = 1, 2, . . . , N;
2) компоненты собственных векторов
h
X
i
могут быть выбраны чисто дей-
ствительными;
3) два собственных вектора
h
X
i
i
и
h
X
i
j
, соответствующих разным собствен-
ным числам ω
2
i
6= ω
2
j
ортогональны с весом, задаваемом матрицей
h
M
i
, т.
е. выполняется
h
X
i
T
i
h
M
ih
X
i
j
= 0 , если ω
2
i
6= ω
2
j
; (8.60)
4) Если существует вырождение собственных чисел, т. е. если для i, j ∈
k + 1, k + 2, . . . , k + m, k ≥ 0 , k + m ≤ N выполняется ω
2
i
= ω
2
j
, то соб-
ственные векторы
h
X
i
k+1
, . . .
h
X
i
k+m
все равно можно выбрать ортого-
нальными в указанном выше смысле;
5) собственные векторы
h
X
i
i
, i = 1, 2, . . . , N линейно независимы, и образу-
ют базис в евклидовом пространстве E
N
комплексных векторов-столбцов
порядка N со скалярным произведением (
h
X
i
,
h
Y
i
) =
h
X
i
?T
h
M
ih
Y
i
.
Еще раз подчеркнем, что все эти свойства являются прямым следствием поло-
жительной определенности матриц
h
K
i
и
h
M
i
.

Страницы