Составители:
Рубрика:
194
x
n
(t) = Re{e
iωt
X
n
}; для X
n
из (8.69) следуют разностные уравнения
X
0
= 0 , (8.70a)
−ω
2
+ ω
2
0
+
2k
m
X
n
=
k
m
(X
n+1
+ X
n−1
) , n = 1, 2, . . . , N , (8.70b)
X
N+1
= 0 . (8.70c)
Решение этих уравнения будем искать в виде X
n
= A sin ψn, где A
и ψ — некоторые постоянные. Тогда уравнение (8.70a) выполняется ав-
томатически, а из уравнения (8.70b) после простых т ригонометрических
преобразований следует
ω
2
(ψ) = ω
2
0
+
4k
m
sin
2
ψ
2
. (8.71)
Остается неиспользованным условие (8.70c), из которого находим, что
должно выполняться sin ψ(N + 1) = 0, или
ψ
j
=
πj
N + 1
, j = 1, 2, . . . , N , (8.72)
Совместно уравнения (8.71) и (8.72) определяют собственные частоты
колебаний цепочки осцилля торов:
ω
j
=
s
ω
2
0
+
4k
m
sin
2
πj
2(N + 1)
, j = 1, 2, . . . , N , (8.73)
а формула
X
(j)
n
= A
j
sin ψ
j
n (8.74)
задает распределение амплитуд колебаний осцилляторов вдоль цепочки
для j-ой собственной моды. Отметим, что в системе существует N соб-
ственных мод, чт о совпадает с числом степеней свободы. Другие целые
значения j, лежащие вне диапазона 1, 2, . . . , N, не приводят к новым ти-
пам колебаний.
Распределение собственных частот удобно представить графически
так, как показано на рис. 8.10 на котором в координатах (ψ, ω) построен
график функции ω(ψ), задаваемой уравнением (8.71). Положение соб-
ственных частот на графике отмечено точками, координаты которых по
оси абсцисс выражаются формулой (8.72). Все частоты лежат в интер-
вале между значениями ¯ω
1
= ω
0
и ¯ω
2
=
p
ω
2
0
+ 4k/m, причем сами эти
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- …
- следующая ›
- последняя »
