Составители:
Рубрика:
202
где n
2
1
= ω
2
01
+ 2k/M, n
2
2
= ω
2
02
+ 2k/m. Из (8.84) следует характеристи-
ческое уравнение
ω
4
− (n
2
1
+ n
2
2
) + n
2
1
n
2
2
−
4k
2
mM
cos
2
ψ = 0 ,
Его решения есть
ω
2
1,2
(ψ) =
1
2
"
(n
2
1
+ n
2
2
) ∓
r
(n
2
2
− n
2
1
)
2
+
4k
2
mM
cos
2
ψ
#
. (8.85)
Возможные значения ψ задаются, как и в случае однородной цепоч к и,
оставшимся уравнением (8.82b): sin ψ(2N + 1) = 0, или
ψ
j
=
πj
2N + 1
, j = 1, 2, . . . , N . (8.86)
Мы видим, что для каждого возможного значения ψ из (8.86) можно
найти две собственные частоты, так что их общее число равно 2N, по
числу степеней свободы. Другие значения j, отличающиеся от 1, 2, . . . , N,
не приводят к новым решениям. Например, для j = N +1 можно записать
ψ
N+1
=
π
2N + 1
(N + 1) = π − ψ
N
.
Отсюда видно, что собственные частоты, получаемые для j = N и j =
= N + 1 из уравнения (8.85), совпадают, а распределения амплитуд ко-
лебаний осцилляторов X
k
, Y
n
отл ичаются только знаком. То же самое
можно сказать о собственных колебаниях с j = N −1 и j = N + 2, и так
далее .
Если графически представить распределение собственных чисел, по-
добно тому, как это было сделано на рис. 8.10, то получится картина,
показанная на рис. 8.14. Собственные частоты, помеченные точками, ле-
жат на двух кривых, задаваемых уравнением (8.85). Координаты точек
вдоль оси ψ определяются со отношением (8.86), из которого следует, что
возможный интервал изменения ψ ограничен значениями 0 и π/2. Каж-
дая ветвь спектра лежит в своей частотной полосе, нижняя ограничена
значениями ¯ω
1
и n
1
, а верхняя — значениями n
2
и ¯ω
2
, где
¯ω
2
1,2
=
1
2
"
(n
2
1
+ n
2
2
) ∓
r
(n
2
2
− n
2
1
)
2
+
4k
2
mM
#
. (8.87)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- …
- следующая ›
- последняя »
