Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

226
Таблица 9.1.
Дисперсионное уравнение ω-k диаграмма Существует ли дисперсия?
ω
2
= ω
2
0
+
4γ
1
m
sin
2
(
ka
2
)
Система связанных маятни-
ков
Дисперсия есть, поскольку
существуют и временной и
пространственный собствен-
ные масштабы (2π/ω
0
и a)
ka 1, ω
2
= ω
2
0
+
γ
1
m
(ka)
2
Сплошная среда, описываемая
уравнением Клейна-Гордона
Дисперсия есть, так как суще-
ствует собственный времен-
ной масштаб 2π/ω
0
ka 1, ω
0
→ 0,
ω = ±
q
γ
1
m
ka
Сплошная среда, описываемая
волновым уравнением
Дисперсии нет, поскольку ис-
чезли собственные временной
и пространственной масштабы
ω
0
→ 0 , ω
2
=
4γ
1
m
sin
2
(
ka
2
)
Система связанных одинако-
вых шариков
Дисперсия есть, так как суще-
ствует собственный простран-
ственный масштаб a
временных масштабов. Описанные выше результаты для цепочки связан-
ных маятников сведены в таблицу § 4.
Если в среде нет никаких характерных пространственных или вре-
менных масштабов (как, например, при распространении звука в воде
или электромагнитных волн в вакууме), т.е. нет характерных частот или
периодов, то распространяющаяся несинусоидальная волна искажаться
не будет. Дисперсия в этом случае отсутствует.
Если, например, в воду “напустить” пузырьков, т.е. ввести некий про-
странственный масштаб a — расстояние между пузырьками или размер
пузырьков, то для волны λ a, искажений при распространении не бу-
дет, если же λ ∼ a, то волна искажается, в системе есть дисперсия. В
кристалле, скажем, волна низкой частоты (длина волны много больше
расстояния между ионами) распространяется без искажений, а для высо-
ких ч астот уже имеет значение расстояние между ионами — дискретность
“среды”.
Дисперсия, связанная с наличием в среде временных масштабов, обыч-
но называется временной, а с наличием пространственных масштабов —
пространственной. Заметим, что такая классификация удобна лишь в
электродинамике, где можно говорить отдельно об уравнениях среды и
поля. Н а формальном языке уравнений дисперсия — это нелокальная за-

Страницы