Составители:
Рубрика:
229
ограничиваясь членами порядка (ka)
4
; тогда
ω
2
=
γ
1
m
(ka)
2
1 −
(ka)
2
12
. (9.21)
Так как в уравнении (9.20) k — величина безразмерная, то обозначая
ka через k и полагая ω
0
= γ
1
/m, α = 1/12, приходим от уравнения (9.21)
к уравнению (9.20).
Таким образом, оба подхода — и дискретный, и феноменологический
учет нелокальности связи между физическими величинами — приводят к
правильному описанию пространственной дисперсии. Пространственная
дисперсия проявляется и вблизи частоты ω
0
(см. рис. 9.3,б и форму-
лу (9.18)). В уравнении (9.19) знак α быть любым. Тогда если ω
2
=
= ω
2
0
k
2
/(1−αk
2
), то при α ∼ k
−2
фазова я скорость волны v
ф
= ω/k → ∞
и групповая скорость (скорость перено са энергии в среде без потерь)
v
гр
= dω/dk → ∞. Следовательно информация от одной точки к д ру-
гой передается мгновенно. Подумайте, с какими идеализациями модели
связан возникший парадокс.
§ 5. О квазичастицах
Основываясь на дуализме волн и частиц, можно ввести кванты энер-
гии полей в макроскопических телах — квазичастицы. Поясним эту ана-
логию на примере цепочки из одина ковых шариков, связанных пружина-
ми, для которой ω = 2
p
γ
1
/m sin(ka/2). Исходя из квантовых представ-
лений, гамильтониан для такой цепочки имеет вид:
H =
X
~ω
k
(a
+
k
a
k
+ 1/2), (9.22)
где a
+
k
a
k
= N
k
— оператор числа бозонов в состоянии k, а сумма берется
по всем допустимым значениям вектора k. Эти значения k обычно опре-
деляются из периодических условий q
i+M
= q
i
для координаты (условие
замкнутости цепочки; M — число частиц в цепочке). Тогда допустимые
значения вектора суть k = 2πn/(Ma), где n — любое целое число между
−M/2 + 1 и M/2. В выражении (9.22)
ω
k
= 2
r
γ
1
m
sin(πn/M) , (9.23)
т. е. полученная из квантовых соображений формула в точности совпадает
с соответствующей формулой классической те ории.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- …
- следующая ›
- последняя »
