Составители:
Рубрика:
235
В соответствии со сказанным, введем ϕ(x, t) = ϕ
1
(x, t), при x < 0 и
ϕ(x, t) = ϕ
2
(x, t) при x > 0. Для функций ϕ
1
(x, t) и ϕ
2
(x, t) справедливы
уравнения:
∂
2
ϕ
1
(x, t)
∂t
2
− v
2
1
∂
2
ϕ
1
(x, t)
∂x
2
= 0 (x < 0) , (10.4)
∂
2
ϕ
2
(x, t)
∂t
2
− v
2
2
∂
2
ϕ
2
(x, t)
∂x
2
= 0 (x > 0) , (10.5)
которые следует дополнить условиями на границе. Очевидно, что несмо-
тря на различие плотности при x < 0 и x > 0 в точке x = 0 струна не
разрывается, т. е.
ϕ
1
(x, t)|
x=0
= ϕ
2
(x, t)|
x=0
. (10.6)
В терминологии книги [2] это условие отражает сплошность и непрони-
цаемость среды. Для получения второго условия для первых производных
обратимся к рис. 10.2,b. На точку x = 0 стыковки частей струны с разной
плотностью слева перпендикулярно оси x действует сила (−N sin θ
1
), а
справа — сила (+N sin θ
2
). Обозначения углов и амплитуд волн ясны из
рисунка. Точк а струны, соответствующая x = 0, имеет нулевую массу,
поэтому силы (−N sin θ
1
) и (+N sin θ
2
) уравновешивают друг друга, т.е.
θ
1
= θ
2
(в терминологии книги [2] имеет место равенство действия и
противодействия). Таким образом, касательные к частям струны слева и
справа в точке x = 0 совпадают, что означает выполнения равенства
∂ϕ
1
(x, t)
∂x
x=0
=
∂ϕ
2
(x, t)
∂x
x=0
. (10.7)
Мы уже указывали, что из общих физических соображений на грани-
це должна возникнуть отраженная и проходящая волны, поэтому решение
можно искать в виде:
ϕ
1
(x, t) = Ae
i(ωt−kx)
+ A
1
e
i(ω
1
t+k
1
x)
,
ϕ
2
(x, t) = A
2
e
i(ω
2
t−k
2
x)
.
(10.8)
Подставим соотношения (10.8) в условия на границе (10.6) и (10.7).
Тогда
Ae
iωt
+ A
1
e
iω
1
t
= A
2
e
iω
2
t
,
−i
ω
v
1
e
iωt
+ i
ω
1
v
1
A
1
e
iω
1
t
= −i
ω
2
v
2
A
2
e
iω
2
t
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- …
- следующая ›
- последняя »
