Составители:
Рубрика:
238
Задача далее решается методом Фурье разделения переменных. Напо-
мним суть метода. Сначала ищутся решения вида (10.11) уравнения (10.12)
при граничном условии (10.14). После этого решение задачи (10.12) –
(10.14) ищется в виде суперпозиций полученных решений вида (10.11).
Оказывается, что суперпозиция всегда может быть подобра на так, чтобы
удовлетворялись начальные условия (10.13). Граничные условия и само
волновое уравнение удовлетворяются автоматически, поскольку каждое
слагаемое суперпозиции им удовлетворяет.
Подставив соотношение (10.11) в уравнение (10.12), находим, что
1
T
∂
2
T
∂t
2
= v
2
1
X
∂
2
X
∂x
2
.
Так как левая часть равенства не зависит от x, а правая — от t, то они
равны постоянной, которую обозначим α. Тогда получим пару уравнений
∂
2
T
∂t
2
+ αT = 0 ,
∂
2
X
∂x
2
+
α
v
2
X = 0 . (10.15)
Функция ϕ(x, t), определяемая соотношением (10.11) должна удовлетво-
рять краевым условиям (10.14), что возможно только при α > 0 в урав-
нениях (10.15). При α > 0 общее решение уравнений (10.15) имеет вид:
T = A sin(
√
αt) + B cos(
√
αt) ,
X = C sin(
√
αx/v) + D cos(
√
αx/v) .
Таким образом,
ϕ(x, t) = X(x) · T (t) =
A sin(
√
αt) + B cos(
√
αt)
·
·
C sin(
√
αx/v) + D cos(
√
αx/v)
. (10.16)
Поскольку решение (10.16) должно удовлетворять краевым условиям (10.14),
находим:
D = 0 , C sin(
√
αl/v) = 0 (10.17)
Очевидно, что C 6= 0, так как в противном случае придем к тривиальному
нулевому решению, поэтому из соотношений (10.17) получаем, что
√
α =
πnv
l
, где n = 1, 2, 3, . . . (10.18)
Тогда, окончательно,
ϕ
n
(x, t) =
A
n
sin
πnv
l
t + B
n
cos
πnv
l
t
sin
πn
l
x . (10.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- …
- следующая ›
- последняя »
