Составители:
Рубрика:
239
Будем далее искать решение исходной задачи (10.12)-(10.14) в виде бес-
конечной суммы всех стоячих волн (10.19), что дает:
ϕ(x, t) =
X
n
A
n
sin
πnv
l
t + B
n
cos
πnv
l
t
sin
πn
l
x , (10.20)
где A
n
и B
n
пока произвольны. Подставляя соотношение (10.20) в на-
чальные условия (10.14), находим:
X
n
B
n
sin
πn
l
x = Φ(x) ,
X
n
πnv
l
A
n
sin
πn
l
x = Ψ(x) (10.21)
Соотношения (10.21) можно рассматривать как разложения в ряд Фурье
функций Φ(x) и Ψ(x).
Очевидно, что при n 6= m
l
Z
0
sin
πn
l
x sin
πm
l
x dx = 0 ,
а при n = m этот интеграл равен l/2. Учитывая это, умножим каждое из
равенств (10.21) на s in(πmx/l) и проинтегрируем полученное по x от 0
до l. Тогда
B
m
=
2
l
l
Z
0
Φ(x, t) sin
πm
l
x dx ,
A
m
=
2
πmv
l
Z
0
Ψ(x) sin
πm
l
x dx .
(10.22)
Мы получили набор стоячих волн с дискретным спектром длин волн λ
n
=
= 2l/n и соответствующим спектром частот ω
n
= πnv/l. Все точки каж-
дой такой стоячей волны синхронно колеблются с частотой ω
n
= πnv/l, а
ее амплитуда гармонически изменяется с координатой x как sin(πnx/l).
Частоты ω
n
— собственные частоты струны, закрепленной на концах, а
функции sin(πnx/l) — собственные формы струны. Наименьшая частота
ω
1
соответствует основному тону, частота ω
2
— первой гармонике, ω
3
—
второй и т.д. (см. рис 10.4). Таким образом, колебания струны определя-
ются спектром собственных частот и соответствующими им амплитуда-
ми (10.22).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- …
- следующая ›
- последняя »
