Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

241
окрестности ε, вне которой скорость Ψ(x) сразу после удара равна 0.
Поэтому условие (10.23) можно записать в виде:
ξ+ε
Z
ξ−ε
Ψ(x) dx =
p
ρ
(ε > 0) (10.24)
и Ψ(x) = 0 при x /∈ [ξ − ε, ξ + ε].
При неограниченном уменьшении длины отре зка, по которому ударяет
молоточек, на нем функция Ψ(x) неограниченно растет, но все время
выполняется условие (10.23).
Итак, функция Φ(x) = 0, а функция Ψ(x) всюду равна нулю, за исклю-
чением исчезающе малой окрестности точки x = ξ и для нее имеет место
условие (10.23). С учетом сказанного вычислим по формулам (10.22) ам-
плитуды A
m
и B
m
. Очевидно, что B
m
= 0, а
A
m
=
2
πmv
ξ+ε
Z
ξ−ε
Ψ(x) sin
πm
l
xdx ≈
2p
πmρv
sin
πm
l
ξ , (10.25)
где формула тем точнее, чем меньше ε.
Задача 10.1. Задача. Считая, что Ψ(x) = p/ρδ(x −ξ), где δ — о бобщенная
δ — функция (δ — функция Дирака), найдите решение задачи о струне
рояля.
Из соотношения (10.25) следует, что максимальная амплитуда колеба-
ний не основной частоте πv/l и на частотах гармоник 2πv/l, 3πv/l . . . рав-
ны, соответственно, 2p/(πρv) sin(πξ/l), p/(πρv) sin(2πξ/l),
2p/(3πρv) sin(3πξ/l) . . . . Распределения стоячих волн вдоль струны для
основного тона n = 1 и первых трех гармоник n = 2, n = 3 и n = 4 пред-
ставлены на рис. 10.5. Как из него следует, основной тон преобладает при
ударе по центру струны, но при этом не возбуждаются вторая и четвертая
гармоники. Дл я того, чтобы эффективно возбудились несколько первых
гармоник, следует ударить недалеко от концов струны. Более того, чем
меньше удаление от точки закрепления 1 струны, тем больше гармоник
возбудится. Именно так делается в рояле, и именно этим различаются
разные инструменты. Процитируем по этому поводу книгу [1]. “У Стен-
вея это расстояние меньше, чем у Бехштейна, и поэтому его “звонче”, но
зато звук Бехштейна “бархатнее” и “мягче”. Звук скрипичной струны и
фортепианной одного и того же основного тона сильно различаются и это
отличие также объясняется различностью представительности гармоник.

Страницы