Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

243
Ψ(Ψ
1
, Ψ
2
, . . . , Ψ
n
) — комплексный вектор (поляризационный вектор), ком-
поненты которого Ψ
i
есть коэффициенты распределения, характеризую-
щие соотношение амплитуд различных физических переменных в гармо-
нической волне.
Подставляя (10.27) в (10.26) приходим к алгебраической системе урав-
нений для Ψ
i
. Условие существования нетривиального решения этой си-
стемы и будет искомым дисперсионным уравнением
det(Aω − Bk − iC) = D(ω, k) = 0 . (10.28)
Пусть уравнение (10.28) имеет решения ω = ω
s
(k) и k = k
s
(w) где s =
= 1, 2, . . . , n. Это означает, что в среде существует n типов волн, т. е.
u(x, t) =
n
X
s=1
Ψ
s
e
i[ω
s
t−k
s
(ω)x]
+ k.c. ;
к. с. означает комплексно-сопряженную величину. Как и в случае со-
средоточенных систем (см. главы 3 и 7), можно перейти к нормальным
волнам:
a
s
(x, t) = Ψ
s
e
i(ω
s
t−k
s
x)
.
Ввиду отсутствия связи между нормальными волнами они удовлетворяют
уравнениям
∂a
s
∂x
+ ik
s
a
s
= 0 , s = 1, 2, . . . , n . (10.29)
Такая запись удобна и тогда, когда между волнами появляется слабая
связь: в уравнение (10.29) в этом случае необходимо добавить слагае-
мое а , с соответствующим коэффициентом связи (связанным волнам мы
посвятим далее отдельную главу).
Мы уже указывали, чт о для распределенных систем дисперсионное
уравнение — это уравнение, связывающее две комплексные величины ω
и k. Для сосредоточенных же систем имеется характеристическое урав-
нение, которое дает более полную информацию о системе — спектр ее
комплексных собственных частот.
Есть ли аналог подобного уравнения для распределенной системы?
На примере струны уже можно положительно ответить на этот вопрос.
Попробуем получить ответ в более общем случае, для чего обратимся
к системам, в которых предполагается наличие обратной связи (будем
называть их ре зонаторами). В простейшем случае такая обратная связь

Страницы