Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

26
— масса покоя, z
0
— единичный вектора в направлении оси z. В правой
части (1.29) стоит сила Лоренца, действующая на электрон со стороны
магнитного поля. Ее составляющая вдоль магнитного поля равна нулю,
поэтому продольная компонента импульса сохраняется p
z
= const. Легко
виде ть, что сохраняется также величина (но не направление!) полного
импульса. Чтобы показать это, умножим (1.29) скалярно на p. Тогда в
левой части получаем p·
˙
p = (1/2)dp
2
/dt, а в правой части p·[v, z
0
] =
= mz
0
·[v, v] = 0. Таким образом, p
2
= const. Отсюда следует, что масса
m в процессе движения также о стается неизменной, и тогда в уравнении
(1.29) ее можно вынести из под знака производной, после чего переписать
это уравнение, разделив продольное и поперечное движения частицы, в
виде
˙v
x
= −ω
c
v
x
, ˙v
y
= ω
c
v
y
(1.30)
и v
z
= const. Здесь введена величина ω
c
с размерностью частоты:
ω
c
=
eH
0
mc
=
eH
0
p
1 − v
2
/c
2
m
0
c
, (1.31)
которая называется циклотронной частотой вращения электрона.
Введем вместо двух функций x(t) и y(t) одну комплексную функ-
цию Z(t) = x(t) + iy(t). Умножим второе уравнение в (1.30) на мнимую
единицу и сложим с первым; в результате получаем
¨
Z + iω
c
˙
Z = 0 . (1.32)
Уравнение (1.32) отличается от уравнения гармонического осцилл ятора,
но оно также имеет колебательные решения. Чтобы показать это , проин-
тегрируем (1.32) одни раз по времени:
˙
Z + iω
c
Z = Z
0
, (Z
0
— постоянная
интегрирования) и введем новую переменную
˜
Z = Z −Z
0
. Для нее полу-
чается уравнение
˙
˜
Z + iω
c
˜
Z = 0 , (1.33)
решение которого есть
˜
Z(t) =
˜
Z(0) exp(−iω
c
t). Таким образом, Z(t) =
= Z
0
+
˜
Z(0) exp(−iω
c
t) и, разделяя действительную и мнимую части Z(t),
получаем для поперечных координат электрона формулы
x(t) = x
0
+ r
c
cos(ω
c
t − ϕ
0
) , y(t) = y
0
− r
c
sin(ω
c
t − ϕ
0
) , (1.34)
где Z
0
= x
0
+ iy
0
, r
c
= |
˜
Z|, ϕ
0
= Arg
˜
Z. Соотношения (1.34) показыва-
ют, что в плоскости (x, y), поперечной к направлению магнитного поля,

Страницы