Составители:
Рубрика:
272
чального возмущения имеет конечный размер, то он совпадает по порядку
величины и размером упавшего в воду тела l. Из общих свойств преоб-
разования Фурье следует, что разложение такого возмущения в интеграл
Фурье будет содержать гармонические составляющие со всевозможными
по направлению в плоскости x, y волновыми векторами k, а амплитуды
спектральных гармоник будут максимальны для возмущений с длинами
волн λ ∼ l, или волновыми числами k
m
∼ 2π/l. Наиболее интенсивно
возбуждаются волны, длина которых порядка l. Вспоминая рис. 11.4,а,
приходим к выводу, что при d & λ
?
ф
волны будут гравитационными, а
при d . λ
?
ф
— капиллярными. Картины круговых волн для обоих случаев
выглядят по разному, что определяется различием в законах дисперсии.
Каждая спектральная компонента побежит от места возмущения со
своей фазовой скоростью v
ф
, причем из-за аксиальной симметрии они по-
бегут сразу по всем направлениям, формируя картину расширяющихся
цилиндрических волн. Это лишь немногим усложняет дело по сравне-
нию с одномерным случаем. Нужно чуть-чуть подождать, пока волны не
отойдут от центра, тогда небольшой участок волнового фронта можно
будет рассматривать как плоскую волну, распространяющуюся в одном
направлении
5
. Чтобы найти результат интерференции всех спектраль-
ных гармоник, воспользуемся понятием волнового пакета, введенным в
главе 11. Для этого выберем какое-нибудь значение волнового числа k
и рассмотрим все Фурье компоненты с волновыми числами, лежащими
близи него в интервале шириной ∆k k. Это и есть волновой пакет, рас-
пространяющийся с групповой скоростью v
гр
(k). Совокупность пакетов,
покрывающая весь диапазон волновых чисел и составляет результирую-
щее возмущение.
Если рассматривать точки, находящиеся достаточно далеко от центра,
то возмущение в них прибегает через большое время, за ко торое пакеты
с близкими волновыми числами разойдутся далеко в пространстве друг
от друга. Поэтому можно считать, что при таких условиях, в точке r в
момент времени t находится только пакет, для которого
v
гр
(k) = r/t . (11.63)
Решив это уравнение относительно k, можно найти “локальное” значение
волнового числа как функцию координаты и времени k(r, t). Термин “ло-
кальное” волновое число подразумевает, что измеряя в момент времени t
в точке r длину волны, мы получим примерно значение λ ≈ 2π/k(r, t). На
5
Разумеется строгий анализ, который можно найти, например в [13], подтверждает это
приближенное рассмотрение.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- …
- следующая ›
- последняя »
