Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 273 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

273
самом деле, для измерения длины волны необходимо померить, например,
расстояние между несколькими повторяющимися гребнями или впадина-
ми (измерение только между двумя соседними гребнями недостаточно,
так как при этом не будет уверенности, что процесс близок к периоди-
ческому, то есть что действительно измеряется длина волны). Так как
в случае волнового пакета эти расстояния от одного периода к другому
немного меняются, мы и говорим о примерном значении длины волны
и волнового числа в точке
6
. Волновому числу k(r, t), в соответствии с
дисперсионным уравнением, отвечает частота ω(r, t) = ω[k(r, t)], которая
также зависит от r и t.
Для построения видимой картины волн знания волнового вектора и
частоты, однако, недостаточно. Вспомним, что для плоской волны вида
Re{Ae
i(ωt−kx)
} гребням и впадинам соответствуют определенным значе-
ния фазы Φ = ωt−kx, а именно, гребни находятся в точках, где Φ = 2πn,
а впадины — там, где Φ = π(2n + 1), n = 0, ±1, ±2, . . . . Поэтому в нашем
случае также необходимо знание локальной фазы волны в зависимости
от координаты и времени:
Φ(r, t) = ω(r, t) t − k(r, t) r .
Чтобы двигаться дальше, нужно задать конкретный закон дисперсии.
Будет считать, что глубина жидкости достаточно велика, а размер ка-
мешка — несколько сантиметров в диаметре. Тогда можно считать, что
возникающие волны — гравитационные волны на глубокой воде. Закон
дисперсии (11.50) известен, поэтому можно записать v
гр
(k) = ω
0
(k) =
=
p
g/k/2. Тогда из (11.63) можно найти
k(r, t) =
gt
2
4r
2
. (11.64)
Отсюда видно, что проходящие через фиксированную точку пространства
волны сначала имеют большую длину волны (малые k), а с течением вре-
мени она уменьшается. Напомним, что все рассмотрение, основанное на
концепции волновых пакетов, базируется на предположении, ч то расстоя-
ние от источника волн до точки наблюдения достаточно велико, так чт о в
формуле (11.64) r не может быть равно нулю! Подставляя это выражение
в закон дисперсии, получаем локальную частоту и фазу волны:
ω(r, t) =
gt
2r
, Φ(r, t) =
gt
2
4r
. (11.65)
6
Здесь прослеживается прямая связь с квантовой механикой, где значение импульса
частицы в точке, а значит и волновое число волны Де-Бройля k = ~p/~, можно указать
лишь с конечной погрешностью, задаваемой принципом неопределенности.

Страницы