Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 277 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

277
A
B
C
V t
V t
O
0
Рис. 11.5. К объяснению картины волн за движущимся ис-
точником
|AB| = V t. В точке A произошло излучение пакетов во всех направлени-
ях, для которых выполнено условие Черенкова. Под углом θ бежит пакет,
для которого v
ф
= V cos θ. За время t он переместится на расстояние r =
= v
гр
t = V t cos θ/2 (так как для гравитационных волн на глубокой воде
v
гр
= v
ф
/2) и попадет в точку C. Нетрудно убедиться, что местополо-
жение всех таких пакетов совпадает с полуокружностью радиуса V t/4
и центром в точке O, находящимся на расстоянии 3V t/4 от точки B.
Действительно, введем систему координат с началом в точке B и осью
x, совпадающей с направлением движения источника. В ней координаты
точки C даются соотношениями
x = −V t + r cos θ ,
y = r sin θ .
(11.67)
Выразив r через t и θ, получим
x = −V t +
1
2
V t cos
2
θ = −
3
4
V t +
1
4
V t cos 2θ ,
y =
1
2
V t cos θ sin θ =
1
4
V t sin 2θ .
(11.68)
Отсюда (x + 3V t/4)
2
+ y
2
= (V t/4)
2
и утверждение доказано. Проведем
касательную из точки B к окружности, показанной на рис. 11.5 пунк-
тирной линией. Так ка к |OB| = 3V t/4, угол ψ
0
= arcsin(1/3) ≈ 19,5
◦
.
Замечательно, что этот угол не зависит от t, поэтому волны, испущенные
в разных точках траектории будут лежать в пределах одного и того же
клина! Так как картина симметрична о тносительно прямой AB, то мы
приходим к результату Кельвина. Все волны остаются сзади судна, что
неудивительно, так как v
гр
< V .
Следующий шаг состоит в том, чтобы получить полную картину волн.
Используя соотношение (11.65) для фазы волны и формулу r = V t cos θ/2,

Страницы