Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 278 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

278
можно выразить r и V t через величины Φ и θ:
r =
V
2
Φ
g
cos
2
θ ,
V t =
2V
2
Φ
g
cos θ .
(11.69)
Подставив эти выражения в (11.67, получаем
x = −
V
2
Φ
g
cos θ(2 − cos
2
θ) ,
y =
V
2
Φ
g
sin θ cos
2
θ .
(11.70)
Соотношения (11.70) представляют собой уравнения для линий по-
стоянной фазы в параметрической форме. Решив их для заданных зна-
чений координат, можно найти фазу и направление волнового вектора в
любой точке. Это можно сделать численно, однако важнее, что эти со-
отношения дают удобный способ нарисовать картину волн. Зафиксируем
фазу Φ и будем менять значения θ от −π/2 до π/2, при этом точка с
координатами (x, y) будет перемещаться вдоль линии постоянной фазы,
например, вдоль одного из гребней. Задавая фазы, отличающиеся по ве-
личине на 2π, можно получить всю видимую картину волн. Результат
показан на рисунке 11.6. На рисунке 11.7 приведена фотография волн за
движущимся судном, сделанная с самолета. На фотографии ясно выра-
жены боковые волны, прижатые к границе клина Кельвина. Волны вслед
за кормой судна в данном случае практически не возбуждаются, при-
чина этого будет объяснена ниже. Турбулентный след за кормой судна
объясняется причинами, которые здесь не рассматриваются. Вернемся к
рис. 11.6. Вся совокупность гребней сосредоточена внутри клиновидной
области, причем отчетливо наблюдаются волны двух типов с различным
поведением. Во-первых, это короткие волны, прижатые к границам кли-
на и распространяющиеся под большими углами к оси x. Во-вторых —
более длинные волны, бегущие вслед за кормой, фронт их перпендику-
лярен вектору скорости судна. Для таких волн условие черенковского
излучения V ≈ v
ф
=
√
gk, поэтому их длина волны λ ≈ 2πV
2
/g. Гребни,
соотве тствующие двум типам волн касаются друг друга в точках, ле-
жащих на границе клина, в них распространение происходит под углом
θ
m
= arcsin(1/
√
3) = 35,3
◦
, фазовая скорость в этой точке c
m
=
p
2/3V ,
а длина волн λ
m
= 4πV
2
/3g.
Построенная картина, вообще говоря, справедлива для излучателя
бесконечно малых размеров, когда эффективно возбуждаются все воз-

Страницы