Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 292 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

292
уже оценивали: если электроны сместились на x то F
В
≈ −4πne
2
x
0
. Эта
сила сообщает им ускорение −(4πne
2
/m
e
)x
0
, поэтому движение группы
смещенных электронов описывается уравнением гармонических колеба-
ний с пла зменной частотой ω
p
:
¨x
0
+ ω
2
p
x
0
= 0 .
. Такие колебания называются плазменными или ленгмюровскими колеба-
ниями в “холодной” бесстолкновительной неподвижной плазме. Опишем
их с помощью уравнений (12.4)-(12.8). Будем полагать, что магнитное
поле равно нулю; столкновениями можно пренебречь; ионы не участву-
ют в колебаниях и являются однородным компенсирующим неподвижным
фоном (m
i
m
e
); плазма представляет собой одномерный поток электро-
нов, движущийся со скоростью v
0
= const в направлении оси x. Учтем
также влияние сил, связанных с перепадом давления в плазме, т. е. вли-
яние звуковых эффектов. Допустим, что начальное возмущение имеет
вид плоской волны с частотой ω и волновым числом k (f
0
∼ exp[i(ωt −
− kx)]). Для малых возмущений давление электронной жидкости p
e
=
= p
0
+ p
0
, концентрация n = n
0
+ n
0
, скорость электронной жидкост и
v = v
0
+ v
0
(все возмущенные величины, много меньшие соответству-
ющих невозмущенных). Давление электронной жидкости представим в
виде p
e
(n
0
+ n
0
) = p
0
+ m
e
(∂p
e
/∂ρ
0
)n
0
(ρ — плотность электронного газа)
и ∇p
e
= m
e
(∂p
e
/∂ρ
0
)(∂n
0
/∂x). При сделанных допущениях из уравне-
ний двухжидкостной плазменной гидродинамики (12.4), (12.5) получим
следующую систему:
∂v
0
∂t
+ v
0
∂v
0
∂x
= −
1
n
0
∂p
e
∂ρ
0
∂n
0
∂x
+
e
m
e
∂ϕ
0
∂x
= 0 ,
∂
2
ϕ
0
∂x
2
= 4πen
0
,
∂n
0
∂t
+ n
0
∂v
0
∂x
+ v
0
∂n
0
∂x
= 0 .
Подставляя в эти уравнения v
0
, n
0
, ϕ
0
∼ exp [i(ωt − kx)], из условия сов-
местности получившейся алгебраической системы находим закон диспер-
сии ленгмюровских волн:
(ω − kv
0
)
2
= ω
2
p
+ k
2
∂p
e
∂ρ
0
. (12.9)
Это уравнение при v
0
= 0 соответствует дисперсионному уравнению ω
2
=
= ω
2
0
+ k
2
/(LC) для цепочки связанных маятников (см. рис. 12.2). По-
добное (12.9) уравнение было получено впервые Ленгмюром, который ис-
ходил из аналогии со звуковыми вол нами в воде (11.12). Здесь осталась

Страницы